初中数学知识点总结：勾股定理及其逆定理

 

知识点总结

一、勾股定理：
1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a²+b²=c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
２.勾股定理的证明：
　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
　用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；
（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
　说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a²+b²=c²只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：
（1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数
　能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.
四、一个重要结论：
由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用
解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
 

常见考法

（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
 

误区提醒

（1）忽略勾股定理的适用范围；（2）误以为直角三角形中的一定是斜边。
【典型例题】（2010 湖北孝感）
[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）； 
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识拓展]