数学//勾股定理

什么是勾股定理呢？

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

一、勾股定理

1.定义内容:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c²，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2.勾股定理的证明方法:勾股定理的证明方法有很多，常见的是拼图的方法。
    （1）图形经过割布拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

（2）根据同一种图形的面积不同的表达方法，列出等式，推导出勾股定理。

3.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形。

二、勾股定理的逆定理

1.定义内容：如果三角形三边长a，b，c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角。
注意：勾股定理的逆定理，是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两短边的平方和与最长边的平方作比较，若它们相等以a，b，c为三边的三角形是直角三角形。

2.判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：
   （1）确定最长边；

（2）算出最长边的平方与另两边的平方和；

（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数。

四、一个重要结论

由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小正方形的面积和等于较大正方形的面积”。

五、实际应用        

解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑等问题时，常直接、间接涉及勾股定理及其逆定理的运用。

六、常见考法

（1）直接考查勾股定理及其逆定理；

（2）应用勾股定理建立方程；

（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。

七、勾股数运用的方法规律

勾股数是我们在应用勾股定理时常用到的知识，关于能构成勾股数间的数组，在数学中常见的有下列两种情况，在此可假设a，b，c是一组勾股数，满足a²＋b²＝c²这一关系式。

一般地，由以上的例证推理，可得出如下的结论：

证明:：

  ∵a²＝b＋（b＋1），

   ∴a²＋b²＝［b＋（b＋1）］+b²＝b²＋2b＋1=（b＋1）²，

  ∴a，b，b＋1是一组勾股数。

在上述关系中，值得注意的是a为这组数中大于1的最小奇数，b，b＋1是相连的自然数，其中，b为最小偶数，b＋1为最大奇数。

下面给大家出个小问题，看看大家学会了吗？

巧解荷花诗

同学们，我们所学的数学知识不只是在解决数学问题中应用，在生活中的应用也非常广泛，有一个印度的数学家还把一个数学问题编成了诗歌呢！

湖静风平六月天，荷花半尺出水面；

忽来南方吹到莲，荷花恰在水中淹；

湖面之上不复见，入秋渔夫始发现；

落花距根二尺整，试问水深尺若干？

这几句诗的意思是在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵狂风把荷花吹倒在水中淹了，到了秋天，渔翁发现，淹没在水中的残花离根部有二尺远，试问水深是多少尺？

同学们快开动脑筋吧！