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八年级下册第十七章《勾股定理》简介 课程教材研究所 俞求是 《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第十七章是“勾股定理”。勾股定理是初等几何的一个重要定理，有广泛的应用。本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识。
本章安排了两个小节和两个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（供参考）：
17．1 勾股定理 4课时
阅读与思考 勾股定理的证明（选学）
17．2 勾股定理的逆定理 3课时
阅读与思考 费马大定理（选学）
数学活动
小 结 1课时
一、教科书内容和本章学习目标
（一）本章知识结构框图
本章知识结构如下图所示：
（二）教科书内容
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用。平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线与另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形与数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响。没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用。
在第一节中，教科书安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程。教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系。在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积。于是，对于更一般的结论提出了猜想。
历史上对于勾股定理的证明的研究很多，得到了许多证明方法。教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法。这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对于图形面积的不同算法推出图形的性质。在教科书中，图17.1－6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1－6（3）中的图形，证明了勾股定理。
根据勾股定理，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。根据勾股定理还可以得到，
在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。教科书借助于勾股定理和判定全等三角形的定理(sss)证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据。教科书安排了两个例题，让学生学习会运用这个定理。本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题。
（三）本章学习目标
1. 经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题.
2. 初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题.
3. 通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
4. 通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养民族自豪感。通过对于勾股定理及其逆定理的探索，培养数学学习的自信心。
二、编写时考虑的几个问题
（一）让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明。
教科书对于勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程。先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入。这是一个典型的探索和证明的过程。类似地，对于勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程。
这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养对于结论的探索兴趣和热情，培养学生数学学习的兴趣，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力，培养严密审慎的思考习惯，培养科学精神。
（二）通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感
我国古代对于数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感。
我国古代对于勾股定理的研究就是一个突出的例子。根据大约在公元前100年之前写成的《周髀算经》的记载和推算，在公元前21世纪大禹治水时人们就能应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题。约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对于勾股定理一般结论的最早的证明。我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度。从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的从公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献的明确记载。这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的。
本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对于勾股定理的有关研究成果。在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法。首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路。对勾股定理的研究表现了我国古代数学家对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的一些成果。
本章也介绍了国外对于勾股定理的有关研究成果。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯（公元前572年-前492年）是古希腊伟大数学家，现在一般认为国外由毕达哥拉斯学派最早证明了此定理，但毕达哥拉斯本人是否确实证明了这个定理却没有确凿根据。在勾股定理的教学内容中，教科书从与毕达哥拉斯有关传说故事引入对于定理的探索，并介绍了这位古希腊数学家。在勾股定理的逆定理的有关内容中，教科书则从古埃及人画直角的方法引入。在本章的复习题中还引入了古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论作为练习题。在“阅读与思考勾股定理的证明”中还介绍了国外几种证明勾股定理的方法。在这次教材修订所增写的另一个“阅读与思考 费马大定理”中则进一步介绍了与勾股定理有一定关系的费马大定理的研究进展，从另一个角度说明了勾股定理对于数学发展的影响，并以数学家在攻克费马大定理的过程中所表现出来的精神去影响学生，培育学生的良好品质。
与勾股定理有关的数学历史文化背景知识非常丰富，在教学中，应注意适度引入，使学生对勾股定理的有关历史发展有所了解，激发学生的学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国的思想感情，培养民族自豪感，教育学生为振兴中华努力学习，打好数学知识基础。
三、对教学的几个建议
（一）通过教学提高学生分析问题解决问题的能力
本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富。勾股定理及其逆定理不仅在数学中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用。本章还结合两个定理引入了逆命题、逆定理等比较抽象的概念。这些知识本身易混易错，学习有一定的难度。应该对本章的教学引起重视，使本章的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力发挥应有的作用。
在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一般结论的严密思维能力的培养。从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股定理的逆命题也一定成立，而从这种直觉上升到逻辑严密地思考和证明，认识到两个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引起重视的。另外，逆命题概念的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为逆定理，这些都是学生容易出错的知识点。
勾股定理及其逆定理在解决实际问题中有广泛的应用价值，在证明几何结论中也起着非常重要的作用，在教学中也要引起充分的重视。教学中可以适当把一些中外数学史中的材料充实到课堂中，使本章的教学更加充实，取得更好的效果。
（二）围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心
一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的。自信就是不示弱，自信就是自强不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争。数学课往往是初中学生最想学好又不容易学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，所以在数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心。勾股定理被公认是初等几何中的最重要的定理之一，定理结论奇异、形式优美，寻找勾股定理的新证法成为古今中外名家百姓都热衷研究的问题，而勾股定理的赵爽证法被认为是极其优美简洁的证明方法。了解、理解甚至独立发现一个重要定理的证明方法对于树立数学学习的自信心往往能起到特别的作用。勾股定理的证明方法相当多，让学生从定理条件和结论去分析找到一个新的证明方法并非高不可攀，所以，在本定理的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，对于学生提出不同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，既可以让学生根据图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数学的信心。
（三）适当总结和定理、逆定理有关的内容
本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可以在小结时结合已经学过的一些结论以加深理解。例如，可以结合在本套教科书第十二章“全等三角形”中的两个定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来进行复习。这里，前一个结论是角的平分线的性质定理，后一个结论就是角的平分线的性质定理的逆定理。还可以举出其他的一些适当的例子。这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。
互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们应该困难不大，但对于那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时也会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”的形式。当然，要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题。 |
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