(2012·昌平区模拟)(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
求证:EF=BE+FD; (2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题;压轴题;探究型. 【分析】(1)可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到G,使BG=DF,连接AG.目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE,那么这样EF=BE+DF了,于是证明两组三角形全等就是解题的关键.三角形ABE和AEF中,只有一条公共边AE,我们就要通过其他的全等三角形来实现,在三角形ABG和AFD中,已知了一组直角,BG=DF,AB=AD,因此两三角形全等,那么AG=AF,∠1=∠2,那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=
(2)思路和作辅助线的方法与(1)完全一样,只不过证明三角形ABG和ADF全等中,证明∠ABG=∠ADF时,用到的等角的补角相等,其他的都一样.因此与(1)的结果完全一样. (3)按照(1)的思路,我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.根据(1)的证法,我们可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.所以(1)的结论在(3)的条件下是不成立的. 【解答】证明:(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG. ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD, ∴△ABG≌△ADF. ∴AG=AF,∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=
∴∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, ∴△AEG≌△AEF. ∴EG=EF. ∵EG=BE+BG. ∴EF=BE+FD (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. (3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE-FD. 证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF. ∵AB=AD, ∴△ABG≌△ADF. ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF. ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD =∠EAF=
∴∠GAE=∠EAF. ∵AE=AE, ∴△AEG≌△AEF. ∴EG=EF ∵EG=BE-BG ∴EF=BE-FD. 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质;本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键,没有明确的全等三角形时,要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形. |
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