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1、关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根． （1）求a的最大整数值； （2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x²-(32x-7)/(x²-8x+11)的值． 解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0， 解得a≤70/9， 且a≠6, 所以a的最大整数值为7。 （2）①当a=7时，原方程变形为x²-8x+9=0， △=64-4×9=28，∴x=4±√7 ②x²-8x+9=0，∴x²-8x=﹣9 所以原式=2x²-(32x-7)/(-9+11) =2x²-16x+3.5 =2(x²-8x)+3.5 =2(-9)+3.5=-14.5 图2.1 2、如图2.1所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE。（1）求证：BD=DE。 （2）若AC⊥BD，AD=3，ABCD的面积=16，求AB的长。 解： （1）∵AD∥BC，CE=AD，∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE ∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD， ∴BD=DE． （2）如图2.2，过点D作DF⊥BC于点F， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴CE=AD=3，AC∥DE ∵AC⊥BD， ∴BD⊥DE， ∵BD=DE， ∴S△BDE=1/2BD·DE=1/2BD²=1/2BE·DF=1/2（BC+CE）·DF=1/2（BC+AD）·DF=S梯形ABCD=16， ∴BD=4√2， ∴BE=√2BD=8， ∴DF=BF=EF=1/2BE=4， ∴CF=EF-CE=1， ∴由勾股定理得AB=CD=√(CF²+DF²)=√17 图3.1 3、如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。 解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米， ∴8米高旗杆DE的影子为：12m， ∵测得EG的长为3米，HF的长为1米， ∴GH=12-3-1=8m， ∴GM=MH=4m． 如图3.1，设小桥的圆心为O，连接OM、OG． 设小桥所在圆的半径为r ∵MN=2m， ∴OM=（r-2）m 在Rt△OGM中，由勾股定理得： ∴OG²=OM²+4²， ∴r²=（r-2）²+16， 解得：r=5 答：小桥所在圆的半径为5m． 图4.1 如图4.2 4、分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF． （1）如图4.1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）； （2）如图4.2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF、EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180° ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形 ∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45° ∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA， ∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA ∴∠FDG=∠EAF， ∵在△EAF和△GDF中：DF=AF、∠FDG=∠FAE、DG=AE ∴△EAF≌△GDF（SAS）。∴EF=FG，∠EFA=∠DFG 即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA， ∴∠GFE=90°， ∴GF⊥EF； （2）GF⊥EF，GF=EF成立； 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°， ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形， ∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°， ∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°， ∴∠EAF+∠CDF=45°， ∵∠CDF+∠GDF=45°， ∴∠FDG=∠EAF， ∵在△EAF和△GDF中：DF=AF、∠FDG=∠FAE、DG=AE ∴△EAF≌△GDF（SAS）， ∴EF=FG，∠EFA=∠DFG， 即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA， ∴∠GFE=90°， ∴GF⊥EF． |
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