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八卦中的数学常识（八卦记忆法）
1.1 引言
本文尝试利用简单的数学变换探究易经八卦的构成原理简介，目标是为记忆力如我一样有限的人更快地记住八卦的样子（易经的起源和历史此文不表）。关键字包括：二进制、码位倒置、循环移位。
1.2 易经八卦中的二进制
易经云：太极生两仪（阴、阳），两仪生四象（太阳、少阳、少阴、太阴），四象生八卦（乾、兑、离、艮、震、坎、巽、坤），见图1。
图1 太极图
由图1 可以知道，（如果不论太极是什么东西的话），八卦是典型的二进制形式，此处不再深表，为了便于本文（甚至理解整部易经），现用二进制数字表示八卦，分别是：乾（111）、巽（110）、离（101）、艮（100）、兑（011）、坎（010）、震（001）、坤（000）。至于八卦分别有什么指向（象、数、理）本文不表。
另外，求反是二进制数变换中的一个基本操作，如：（1）求反得（0），（0）求反得（1）；
1.3 先天八卦中的码位倒置
先天八卦图，也称伏羲八卦图，参见图2。
图2 先天八卦图
在所有的有关易经的书籍中，均从义理的角度阐述先天八卦序，本文的动机是在于从数学的角度理解先天八卦的卦序规律，用到一个数学知识叫做码位倒置。
所谓码位倒置指的是这样一种数学变换，给定一个数字（二进制形式），其码位倒置的结果就是将此二进制数从高à低位的顺序颠倒，比如：
1） 数字是0（二进制表示为000），其码位倒置的结果是0（二进制表示为000）。
2） 数字是1（二进制表示为001），其码位倒置的结果是4（二进制表示为100）。
3） 数字是2（二进制表示为010），其码位倒置的结果是2（二进制表示为010）。
4） 数字是3（二进制表示为011），其码位倒置的结果是6（二进制表示为110）。
5） 数字是4（二进制表示为100），其码位倒置的结果是1（二进制表示为001）。
6） 数字是5（二进制表示为101），其码位倒置的结果是5（二进制表示为101）。
7） 数字是6（二进制表示为110），其码位倒置的结果是3（二进制表示为011）。
8） 数字是7（二进制表示为111），其码位倒置的结果是7（二进制表示为111）。
码位倒置是数字采样相关场合（比如FFT变换）中常用的一种数学变换（注意：这种变换是可逆的）。
基于上述的变换思路，我们将所有的八卦均进行码位倒置，如下（为了便于比较，将卦名重新排序）：
图3说明了先天八卦的构图过程：
图3 先天八卦构图过程示意
1） 首先，需要记忆的是，坤（000）是在八卦的最低端；
2）然后，从坤卦逆时针遍历1,2,3位，每位对位数进行码位倒置分别得到(100)、(010)、(110)，将相应的卦相应的位置；
3） 以此类推进行下一步，填入4,5,6,7位置的卦。
1.4 后天八卦中的循环移位
后天八卦图，也成文王八卦图，见图4。
图4 后天八卦图
在所有的有关易经的书籍中，均从义理的角度阐述后天八卦序，本文的动机是在于从数学的角度理解后天八卦的卦序规律，用到一个数学知识叫做循环移位，为了适用后天八卦的构造过程描述，需要对传统的循环移位进行一点修正，为了将此改进的移位方式与传统的循环移位区别，这里将其命名为八卦移位。首先介绍一下循环移位，参见图5。
图5 循环移位（摘自网络）
循环移位分为循环左移及循环右移，根据是否带进位又分为带进位循环左移和循环右移。带进位的循环左移／右移指令只有移位的方向不同，它们都用原CF的值填补空出的位，移出的位再进入CF，此处不详细介绍这方面的知识点。在后天八卦的推演中，需要对循环移位进行一个修订，此处命名为八卦循环法则：
1）循环左移时，如果原先的最高位为0，则在循环移位的结果的第一位置为1；如果原先的最高位为1，则在循环移位的结果的第一位置为0；
2）循环右移时，，如果原先的最低位为0，则在循环移位的结果的最高位置为1；如果原先的最低位为1，则在循环移位的结果的最高位置为0；
在八卦中仅用到上述的第一条规则，即八卦循环左移。基于上述介绍，后天八卦的构造的顺序是（计算过程见图6）：
1） 乾在西南（这个是要记住的，其他卦位均可按下法推理）；
2） 以乾位为起点顺时针构造顺位卦序，口诀是：高位求反、低两位八卦左循环，求3次；
a) 乾卦（111）的高位是（1），低两位是（11），高位求反得（0）；低两位八卦左循环是（10），合并两结果是（010），是坎卦；见图中Step-1。
b) 坎卦（010）的高位是（0），低两位是（10），高位求反得（1）；低两位八卦左循环是（00），合并两结果是（100），是艮卦；见图中Step-2。
c) 艮卦（100）的高位是（1），低两位是（00），高位求反得（0）；低两位八卦左循环是（01），合并两结果是（001），是震卦；见图中Step-3。
3） 求上述四卦的对角线卦，口诀是：八卦左循环；
a) 乾卦（111）循环左移为（110），对角线卦即为巽卦；见图中Step-4。
b) 坎卦（010）循环左移为（101），对角线卦即为离卦；见图中Step-5。
c) 艮卦（100）循环左移为（000），对角线卦即为坤卦；见图中Step-6。
d) 震卦（001）循环左移为（011），对角线卦即为兑卦；见图中Step-7。
4） 全部构建完毕。
图6 后天八卦构造过程
1.5 结束语
本文介绍了三个数学工具，用于辅助记忆八卦的象。当然八卦背后影藏了很多自然、历史的文化的东西，本文仅尝试用数学的手段（还不是那么复杂的方式）挖掘八卦背后的数学规律。更多的内容容慢慢呈现和汇报。
八卦中的数学常识（八卦记忆法）
1.1 引言
本文尝试利用简单的数学变换探究易经八卦的构成原理简介，目标是为记忆力如我一样有限的人更快地记住八卦的样子（易经的起源和历史此文不表）。关键字包括：二进制、码位倒置、循环移位。
1.2 易经八卦中的二进制
易经云：太极生两仪（阴、阳），两仪生四象（太阳、少阳、少阴、太阴），四象生八卦（乾、兑、离、艮、震、坎、巽、坤），见图1。
图1 太极图
由图1 可以知道，（如果不论太极是什么东西的话），八卦是典型的二进制形式，此处不再深表，为了便于本文（甚至理解整部易经），现用二进制数字表示八卦，分别是：乾（111）、巽（110）、离（101）、艮（100）、兑（011）、坎（010）、震（001）、坤（000）。至于八卦分别有什么指向（象、数、理）本文不表。
另外，求反是二进制数变换中的一个基本操作，如：（1）求反得（0），（0）求反得（1）；
1.3 先天八卦中的码位倒置
先天八卦图，也称伏羲八卦图，参见图2。
图2 先天八卦图
在所有的有关易经的书籍中，均从义理的角度阐述先天八卦序，本文的动机是在于从数学的角度理解先天八卦的卦序规律，用到一个数学知识叫做码位倒置。
所谓码位倒置指的是这样一种数学变换，给定一个数字（二进制形式），其码位倒置的结果就是将此二进制数从高à低位的顺序颠倒，比如：
1） 数字是0（二进制表示为000），其码位倒置的结果是0（二进制表示为000）。
2） 数字是1（二进制表示为001），其码位倒置的结果是4（二进制表示为100）。
3） 数字是2（二进制表示为010），其码位倒置的结果是2（二进制表示为010）。
4） 数字是3（二进制表示为011），其码位倒置的结果是6（二进制表示为110）。
5） 数字是4（二进制表示为100），其码位倒置的结果是1（二进制表示为001）。
6） 数字是5（二进制表示为101），其码位倒置的结果是5（二进制表示为101）。
7） 数字是6（二进制表示为110），其码位倒置的结果是3（二进制表示为011）。
8） 数字是7（二进制表示为111），其码位倒置的结果是7（二进制表示为111）。
码位倒置是数字采样相关场合（比如FFT变换）中常用的一种数学变换（注意：这种变换是可逆的）。
基于上述的变换思路，我们将所有的八卦均进行码位倒置，如下（为了便于比较，将卦名重新排序）：
图3说明了先天八卦的构图过程：
图3 先天八卦构图过程示意
1） 首先，需要记忆的是，坤（000）是在八卦的最低端；
2）然后，从坤卦逆时针遍历1,2,3位，每位对位数进行码位倒置分别得到(100)、(010)、(110)，将相应的卦相应的位置；
3） 以此类推进行下一步，填入4,5,6,7位置的卦。
1.4 后天八卦中的循环移位
后天八卦图，也成文王八卦图，见图4。
图4 后天八卦图
在所有的有关易经的书籍中，均从义理的角度阐述后天八卦序，本文的动机是在于从数学的角度理解后天八卦的卦序规律，用到一个数学知识叫做循环移位，为了适用后天八卦的构造过程描述，需要对传统的循环移位进行一点修正，为了将此改进的移位方式与传统的循环移位区别，这里将其命名为八卦移位。首先介绍一下循环移位，参见图5。
图5 循环移位（摘自网络）
循环移位分为循环左移及循环右移，根据是否带进位又分为带进位循环左移和循环右移。带进位的循环左移／右移指令只有移位的方向不同，它们都用原CF的值填补空出的位，移出的位再进入CF，此处不详细介绍这方面的知识点。在后天八卦的推演中，需要对循环移位进行一个修订，此处命名为八卦循环法则：
1）循环左移时，如果原先的最高位为0，则在循环移位的结果的第一位置为1；如果原先的最高位为1，则在循环移位的结果的第一位置为0；
2）循环右移时，，如果原先的最低位为0，则在循环移位的结果的最高位置为1；如果原先的最低位为1，则在循环移位的结果的最高位置为0；
在八卦中仅用到上述的第一条规则，即八卦循环左移。基于上述介绍，后天八卦的构造的顺序是（计算过程见图6）：
1） 乾在西南（这个是要记住的，其他卦位均可按下法推理）；
2） 以乾位为起点顺时针构造顺位卦序，口诀是：高位求反、低两位八卦左循环，求3次；
a) 乾卦（111）的高位是（1），低两位是（11），高位求反得（0）；低两位八卦左循环是（10），合并两结果是（010），是坎卦；见图中Step-1。
b) 坎卦（010）的高位是（0），低两位是（10），高位求反得（1）；低两位八卦左循环是（00），合并两结果是（100），是艮卦；见图中Step-2。
c) 艮卦（100）的高位是（1），低两位是（00），高位求反得（0）；低两位八卦左循环是（01），合并两结果是（001），是震卦；见图中Step-3。
3） 求上述四卦的对角线卦，口诀是：八卦左循环；
a) 乾卦（111）循环左移为（110），对角线卦即为巽卦；见图中Step-4。
b) 坎卦（010）循环左移为（101），对角线卦即为离卦；见图中Step-5。
c) 艮卦（100）循环左移为（000），对角线卦即为坤卦；见图中Step-6。
d) 震卦（001）循环左移为（011），对角线卦即为兑卦；见图中Step-7。
4） 全部构建完毕。
图6 后天八卦构造过程
1.5 结束语
本文介绍了三个数学工具，用于辅助记忆八卦的象。当然八卦背后影藏了很多自然、历史的文化的东西，本文仅尝试用数学的手段（还不是那么复杂的方式）挖掘八卦背后的数学规律。更多的内容容慢慢呈现和汇报。
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