概念教学连载（3）“概念教学”微论坛（上）

上海市五区五校初中数学教研联合体在徐汇中学举行《研究课程标准，关注概念教学，促进数学理解》的主题研讨活动。

以下刊登的就是蔡春梅老师(格致初级中学)、徐蕊老师(建平中学西校)概念教学'微论坛'发言摘要及全程视频，供大家借鉴

数学概念教学设计情景引入

蔡春梅老师

在初中数学教学过程中，数学概念的引入是课堂教学的起始环节。常言所说“良好的开端是成功的一半”，数学概念的合理引入对一堂课的教学起着重要的作用。

数学课堂教学引入方式大致可以归纳为以下几种方式：

（1）创设情景，引发思考；

（2）活动体验，感悟新知；

（3）复习旧知，类比迁移；

（4）开门见山，直奔主题等。

今天我举三个例子来说明怎样更有效的进行课堂教学的情景引入。

一、故事情景引入

案例1、在讲解“《有理数的乘方》”一节时，我们会讲到国王与象棋的故事 。故事的本身是为了引入乘方这一概念。主要是引发思考，怎样将2×2×2…繁琐的式子能用简洁的式子表示出来。

在这节引入时要讲清楚（1）乘方的表达形式；（2）底数、指数；（3）运算符号；（4）运算结果为幂

通过上述情境创设，让学生通过已有的知识，归纳出特殊到一般的数学规律，使学生在原有的知识结构中得以同化与构建。这样既符合学生的认知规律，更有利于学生的思维能力的培养。

二、生活情景引入

案例2、在讲解“《平移》”时，让学生观看图片时，教师应该适当的引导。首先它是一个平面在移动，其次在移动的过程中平面上所有的点都在移动，再次平面上所有的点都按相同的方向移动，最后这些点都移动相同的距离。这就是平移所具备的条件。

从而得到平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动。

通过上述情境创设，生活中处处有数学。吸引学生的注意力，激发他们的求知欲，活跃他们的思维，同时加深对数学概念的理解。

三、问题情景引入

案例3、在讲解“《二次根式》”时，提出问题：

1.已知正方形的面积为'c-5'，则正方形的边长如何表示？

2.要修建一个面积为6.28m^2的圆形喷水池，

它的半径为m（π取3.14）为多少？

3.在关系式中h=7t^2，如何用含有h的式子表示t？

这样设置情景问题，让学生从不同的式子中探寻规律，为二次根式的引入作好铺垫。同时，注重新旧知识的连贯性，使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到新旧知识的学习内容应该融会贯通。

总之，引入数学概念是理解和运用数学概念的前提。数学概念形成的学习方式，主要是通过实例来引入数学概念，并通过这些实例概括出它们的共同属性。

在选择实例时应注意以下几方面：

（1）针对性；应围绕数学概念的本质属性选择实例，要淡化这些实例中的非本质属性，以免干扰数学概念的形成；

（2）可比性。在概念引入阶段，正例与反例应当容易识别，能明显区分它们的某些不同属性；

（3）适量性。实例要有一定的数量，实例的数量应因人而异，为此应充分了解学生的学习水平与接受能力；

（4）趣味性。实例应尽可能生动、有趣，语言要简练，以利于激发学生的学习兴趣，还可借助录像、多谋体课件等多种形式引入概念；

（5）参与性。组织学生对所列举的实例进行比较、分类，并进一步展开讨论，找出它们的本质属性。

无论设计什么样的情境引入，都应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，以激发学生好奇心，引起学生学习兴趣为目标，引入要自然、合情合理，从而激发学生学习数学的兴趣和提高自信心，使学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力都得到提高。

辨析相关概念 促进概念理解

徐蕊老师

在数学概念的新授课教学过程中，我们往往需要把多个相关概念进行新旧概念的同化和辨析，从而抽象出概念的本质属性进而得出确切的定义。因此我把常见的、相近且容易混淆的一些重要的概念和概念之间的关系分为三类：互补式、包含式、交互式。我想就“无理数”的概念和“二次根式”的概念教学为例，阐述以上所说的三种关系。

“无理数”与“有理数”是互补关系，即一个实数不是有理数就是无理数。因此我对待“无理数”这一概念的讲课思路是：首先由数学故事引入：希帕斯发现了无法用两个整数之比来表示的数的存在。再用实例，面积为2的正方形怎样表示边长，引发学生的思考。从而体现出，表示“无理数”这一概念的存在是有现实需求和存在的合理性的。进而教师可以询问如何将面积为3、5、6、7等的正方形边长表示出来呢？此时引入√3、√5、√6、√7的书写形式。

接着教师可以进行辨析举例，从小数的角度来看，“有理数”是可以用有限小数或无限循环小数来表示的，而“无理数”则是无限不循环小数。此时可以让学生举出一些无限不循环小数的例子，如，π，0.1234567891011…（连续不断地依次写正整数）；从数的表示形式来看，“有理数”可以用分数表示，而“无理数”还可以用根号的形式来表示，此时可以例举√7、√10、√13等。通过这些例子，学生已经初步形成了“无理数”的概念，对“无理数”不同于“有理数”的特征有了直观认识。然后教师可以给出-π、-√3、-√5、2π、2√3、-0.101001000100001…（它的位数无限，相邻两个1之间0的个数依次加1）等“无理数”实例，让学生发现“无理数”和“有理数”一样也存在正负性。这两组实例辨析，学生可以分析出“有理数”与“无理数”之间存在的共同属性和不同属性，从而抽象出了“无理数”概念的本质属性：它是这样一类小数，（1）无限；（2）不循环，它是无法用整数比表示的一类数，从而揭示了无理数的内涵，拓展出了“实数”的概念。

从-4π这个实例，我们发现它其实是“无理数”概念的应用，将“无理数”概念外延到“有理数”与“无理数”的加减乘除运算结果的属性上，这样的一个概念延伸可以使学生对“无理数”的概念有完整的认识，并且有利于对“实数”概念的准确理解。体会“实数”可以分为“有理数”和“无理数”这两个互补式概念。

与此同时，这种互补关系还可以完善数轴上的点与数的对应关系，有理数是整数和分数的统称，它们所对应的点都可以相对准确的在数轴上找到，而数轴上剩下的那些点所对应的数就是无理数了。从而形成了“数轴上的每一个点都与一个实数一一对应”。

这种互补式概念的教学方式，还可以用在几何教学上，例如：三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。它们互不包含，但可以完整包括所有的三角形。

相对于“无理数”概念的互补式特点，“二次根式”这一概念是从属于“根式”这一概念的，它与“根式”之间的关系是属于“包含式”的。

在实数单元章节，学生已学习了开平方运算，我的讲课思路是直接引入含有根号的代数式给出定义：形如√a（a≥0）的代数式叫做“二次根式”。这个概念有三个本质属性：（1）根指数是“2”，开平方时我们只是省略不写，这是对“根式”这一概念中根指数加了限制条件；（2）被开方数非负， 由于根指数为“2”这一特点，在“根式”的概念中当根指数是偶数时，是需要对被开方数加限制条件的；（3）这是一个“代数式”，与“根式”的形式是统一的。

而我们发现“无理数”和“二次根式”之间还存在着“交互式”关系。例如√2、√3、√7这一类被开方数为数字的“无理数”，它们从书写形式上既满足“无理数”中的带根号类型，又满足“二次根式”的三大本质属性，根指数为2、被开方数非负且是代数式。这就是两个概念间的重叠部分，但是由于被开方数的“数”与“式”之间本质属性的差异，两个概念并非完全互相包含的，比如π就不属于“二次根式”，反之√(1+x^2)又不属于“无理数”，由此体现出了两个概念间的交互关系。

同样，在几何教学过程中，也有“包含式”和“交互式”概念教学的体现。例如，在“平行四边形”这个单元中，“菱形”和“矩形”这两个概念与“平行四边形”是包含关系，而“菱形”和“矩形”这两个概念又是交互式的，它们的重叠部分就是“正方形”。“三角形”如果按边分类，又分为“不等边三角形”和“等腰三角形”，它们是互补式的，但“等腰三角形”与“等边三角形”又有着包含关系，等边三角形只是等腰三角形的一种特殊情况。

有了这样三种概念关系的分类，我们在概念课的设计思路上就可以有针对性的设计新课引入、实例辨析和概念应用这三个环节，让学生对概念的学习经历从特殊到一般，从一般再到特殊的过程，从而能够更加准确地理解概念的内涵以及它的外延。

现场视频

上海市五区五校初中数学教研联合体李建国供稿，并受李建国老师委托，本平台（初中数学微课程）将持续报道五区五校教研联合体活动。