高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

    抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 

【知识掌握】

【知识点精析】

    1. 抛物线定义：

    平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。

    2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：

    

其中为抛物线上任一点。

    3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

    4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。

    说明：

    1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

    2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

    3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

 

【解题方法指导】

    例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。

解析：设所求抛物线的方程为或

设交点（y₁>0）

则，∴，代入得

∴点在上，在上

∴或，∴

故所求抛物线方程为或。

 

  例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。

解析：证法一：由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

    由，消去得

    设，则

    ∵∥轴，且在准线上

    ∴点坐标为

    于是直线的方程为

    要证明经过原点，只需证明，即证

    注意到知上式成立，故直线经过原点。

    证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是，知三点共线，从而直线经过原点。

    证法三：如图，

    设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足

    则∥∥，连结交于点，则

   

    又根据抛物线的几何性质，

    ∴

    因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。

    评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。

【考点突破】

【考点指要】

    抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。

    考查通常分为四个层次：

    层次一：考查抛物线定义的应用；

    层次二：考查抛物线标准方程的求法；

    层次三：考查抛物线的几何性质的应用；

    层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

    解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。

 

【典型例题分析】

  例3. （2006江西）设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（    ）

A.                 B.                

C.                 D.

    答案：Ｂ

    解析：解法一：设点坐标为，则

   

           ，

    解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。

    解法二：由题意设，则，

    即，，求得，∴点的坐标为。

    评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。

 

  例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（    ）

    A. －2                  B. 2               C. －4                  Ｄ. 4

    答案：D

    解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。

    评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。

 

【达标测试】

一. 选择题：

1. 抛物线的准线方程为，则实数的值是（    ）

    A.                    B.                    C.                 D.

2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离为4，则等于（    ）

    A. 4               B. 4或－4                    C. －2                  D. －2或2

3. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）

    A.                           B. 或

    C.                              D. 或

4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（    ）

    A.                     B.

    C.                     D.

5. 正方体的棱长为１，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为１，则点的轨迹是（    ）

    A. 抛物线             B. 双曲线          C. 直线                D. 以上都不对

6. 已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（　　　）

    A. 5               B. 4               C.              D.

7. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（    ）

    A.                    B. 4        C.                    D. 5

8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的值是（    ）

    A. 12                    B. －12                C. 3               D. －3

 

二. 填空题：

9. 已知圆和抛物线的准线相切，则的值是＿＿＿＿＿。

10. 已知分别是抛物线上两点，为坐标原点，若的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程为＿＿＿＿＿。

11. 过点（0，1）的直线与交于两点，若的中点的横坐标为，则＿＿＿。

12. 已知直线与抛物线交于两点，那么线段的中点坐标是＿＿＿＿＿。

 

三. 解答题：

13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求抛物线的方程。

14. 过点（4，1）作抛物线的弦，恰被所平分，求所在直线方程。

15. 设点F（1，0），M点在轴上，点在轴上，且。

    ⑴当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；

    ⑵设是曲线上的三点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E（3，0）时，求点的坐标。

 

【综合测试】

一. 选择题：

1. （2005上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（    ）

    A. 有且仅有一条                       B. 有且仅有两条

    C. 有无穷多条                           D. 不存在

2. （2005江苏）抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（   ）

    A.                   B.            C.             D. 0

3. （2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点与原点的距离是（    ）

    A.              B.         C.              D. 21

4. （2005全国Ⅰ）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（    ）

    A.                 B.                    C.          D.

5. （2004全国）设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ）

    A.                B.             C.           D.

6. （2006山东）动点是抛物线上的点，为原点，当时取得最小值，则的最小值为（    ）

    A.         B.         C.         D.

7. （2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积的取值范围是（    ）

    A.            B.             C.            D.

8. （2005北京）设抛物线的准线为，直线与该抛物线相交于两点，则点及点到准线的距离之和为（   ）

    A. 8               B. 7               C. 10                    D. 12

 

二. 填空题：

9. （2004全国Ⅳ）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10. （2005北京）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦为，以为直径的圆为，则圆与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。

11. （2005辽宁）已知抛物线的一条弦，，所在直线与轴交点坐标为（0，2），则＿＿＿＿＿。

12. （2004黄冈）已知抛物线的焦点在直线上，现将抛物线沿向量进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线移到点处，则平移后所得抛物线被轴截得的弦长＿＿＿＿＿。

 

三. 解答题：

13. （2004山东）已知抛物线C：的焦点为，直线过定点且与抛物线交于两点。

    ⑴若以弦为直径的圆恒过原点，求的值；

    ⑵在⑴的条件下，若，求动点的轨迹方程。

14. （2005四川）

    如图，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8。

    ⑴求抛物线方程；

    ⑵若为坐标原点，问是否存在点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且，若存在，求动点的坐标；若不存在，请说明理由。

15. （2005河南）已知抛物线，为顶点，为焦点，动直线与抛物线交于两点。若总存在一个实数，使得。

    ⑴求；

    ⑵求满足的点的轨迹方程。