导数中的零点问题，原来这么考！

小数老师说

之前有同学说小数老师发的题目太简单了，建议发一些难度大的题目，比如湖南湖北或者江苏的题目，小数老师相应你的建议，今天来一道江苏的题目，但是后面还是注重中档题目的，基础题目小数老师也会弄，我一直认为：基础打好了，难题也不难了哈！

（2015江苏）

已知函数。

（1）       试讨论的单调性；

（2）       若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。

分析

浏览一下这道题，函数是我们常见的三次函数，没有定义域的干扰，所以对于第一问讨论单调性还是很常规的，属于送分题；但是第二问就超出了我们的预期，难度一下就上来了，首先，又多了一个参数c，其次，与我们平时做题不一样，平时练习是“当函数f(x)有三个不同的零点时，求a的取值范围”，而这次却已知a的范围，求c的值，让同学们一下子摸不着头脑，找不到突破口。

下面，跟着小数老师一起来分析，同学们放心，除了压轴题有可能超纲（给的新定义超纲，但是解题还是利用高中知识）外，其他的都是我们平时练习过的！

解析

（1）       比较简单，小数老师直接给出解题步骤：

很明显，函数定义域是R，导函数是二次能分解因式型的，下面就可以令导数为0，然后求根了，

令，得。

①   当a=0时，f’(x)>0，所以f(x)在R上单调递增；

②   当a>0时，x1>x2，

所以当时，f’(x)>0，

当时，f’(x)<>，

所以函数f(x)在区间上单调递增，在上单调递减。

③   当a<>时，x1<>，

所以当时，f’(x)>0，

当时，f’(x)<>，

所以函数f(x)在区间上单调递增，在上单调递减。

 注意：当函数在两个不相邻的区间上单调时，这两个区间不能用∪表示，只能用“，或和”连接两个区间。

（2）       由（1）得，当a≠0时，函数f(x)有两个极值，分别为f(0)=b=c-a, ,

并且此时函数是先增再减然后又增的函数，所以若函数f(x)有三个不同的零点时，只需要两个极值一个大于0，一个小于0，这样由零点的存在性定理，条件就满足了。

所以接下来继续分类讨论，

当a>0时，有f(0)<0,>>0,此时得到a的范围应该是，

根据2个不等式，得

因为c-a<>，所以c<>，又因为a的范围是，所以c≤1,

令，此时g(a)在区间上大于0，

 因为g(a)在单调递减，在单调递增，所以要使g(a)在区间上大于0，必须有，所以得到c≥1;

同理，当a<>时，有f(0)>0, <>，此时a的范围应该是（-∞，-3），

根据2个不等式，得

因为c-a>0，所以c>a，又因为a的范围是（-∞，-3），所以c≥-3,

令，此时g(a)在区间（-∞，-3）上小于0，

因为g(a)在（-∞，-3）单调递增，所以要使g(a)在区间（-∞，-3）小于0，必须有g(-3) ≤0,所以得到-4+c+3≤0，所以c≤1.

综上所述，c=1

同学们可以根据小数老师的解题思路把步骤写出来哈！

点评

对于函数零点的问题，不管正向还是逆向，思路都是一致的，根据函数的导函数讨论函数单调性，然后找到极值，再根据函数的零点存在定理，找到符合题目条件的情况进行分析即可！思路还是比较清晰的，还是小数老师那句话，讨论函数的单调性是基础，一切的导数题目都不会脱离开这个基础的！加油吧！

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