高三数学第一章解三角形专项练习(带答案);一、选择题 1.在△ABC中,sinA=sinB,则△ABC是( ) A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形 答案 D 2.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是( ) A.直角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 答案 B 解析 由正弦定理知:sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC, ∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C. 3.在△ABC中,sinA=34,a=10,则边长c的取值范围是( ) A.152,+∞B.(10,+∞) C.(0,10) D.0,403 答案 D 解析 ∵csinC=asinA=403,∴c=403sinC. ∴0 4.在△ABC中,a=2bcosC,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 答案 A 解析 由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC, ∴sin(B+C)=2sin Bcos C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin(B-C)=0,∴B=C. 5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6 答案 B 解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6, ∴b+c4=c+a5=a+b6. 令b+c4=c+a5=a+b6=k (k>0), 则b+c=4kc+a=5ka+b=6k,解得a=72kb=52kc=32k. ∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3. 6.已知三角形面积为14,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为( ) A.1B.2 C.12D.4 答案 A 解析 设三角形外接圆半径为R,则由πR2=π, 得R=1,由S△=12absinC=abc4R=abc4=14,∴abc=1. 二、填空题 7.在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,则b=________. 答案 23 解析 ∵cosC=13,∴sinC=223, ∴12absinC=43,∴b=23. 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,a=3,b=1,则c=________. 答案 2 解析 由正弦定理asinA=bsinB,得3sin60°=1sinB, ∴sinB=12,故B=30°或150°.由a>b, 得A>B,∴B=30°,故C=90°, 由勾股定理得c=2. 9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则asinA+b2sinB+2csinC=________. 答案 7 解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2, ∴asinA=bsinB=csinC=2R=2, ∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7. 10.在△ABC中,A=60°,a=63,b=12,S△ABC=183,则a+b+csinA+sinB+sinC=________,c=________. 答案 12 6 解析 a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12. ∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183, ∴sinC=12,∴csinC=asinA=12,∴c=6. 三、解答题 11.在△ABC中,求证:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA. 证明 因为在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R, 所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA =sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边. 所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA. 12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状. 解 设三角形外接圆半径为R,则a2tanB=b2tanA ?a2sinBcosB=b2sinAcosA ?4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA ?sinAcosA=sinBcosB ?sin2A=sin2B ?2A=2B或2A+2B=π ?A=B或A+B=π2. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 能力提升 13.在△ABC中,B=60°,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为( ) A.45°B.60°C.75°D.90° 答案 C 解析 设C为最大角,则A为最小角,则A+C=120°, ∴sinCsinA=sin120°-AsinA =sin120°cosA-cos120°sinAsinA =32tanA+12=3+12=32+12, ∴tanA=1,A=45°,C=75°. 14.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若a=2,C=π4, cosB2=255,求△ABC的面积S. 解 cosB=2cos2B2-1=35, 故B为锐角,sinB=45. 所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210. 由正弦定理得c=asinCsinA=107, 所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87. 1.在△ABC中,有以下结论: (1)A+B+C=π; (2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C; (3)A+B2+C2=π2; (4)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2,tan A+B2=1tan C2. 2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化,从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明 |
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