小数老师说 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x、y满足约束条件,则的最大值 为 。 解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z最大值为18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 例2、已知则的最小值是_______ . 解析:如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A(1,2)是满足条件的最优解。的最小值是为5。 点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件下,当时,目标函数
A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D.[7,8] 解析:画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即 ;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D; 点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域,逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三 角形区域,表示该区域的不等式组是() (A) (B) (C) (D) 解析:双曲线的两条渐近线方程为,与直线围成一个三角形区域(如图4所示)时有 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。 例5、已知变量x,y满足约束条件。若目标函数 (其中)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范 围为_______ 。 解析:如图5作出可行域,由其表示为斜率为-a,纵截距为z的平行直线系, 要使目标函数(其中)仅在点(3,1)处取得最大值。则直线过A点且在直线(不含界线)之间。即由-a<-1得a>1,则a的取值范围为。
点评:本题通过作出可行域,在挖掘的几何意义的条件 下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题的能力要求较高。 六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 例6、在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是() (A) (B)4 (C) (D)2 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组表示的平 面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为: 从而选B。 点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件则的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解析:如图7,作出可行域,由,它表示为斜率为-1,纵截距为的平行直线系,要使取得最大值。 当直线通过,z取得最大值。因为, 故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B(5,4),C(4,4),经检验直线经过B点时, 点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解。 |
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