小数老师说 先给大家通告一个好消息,高中数学终于具有原创功能了,以后大家可以随时在下面评论了哈!感谢平台上的各位家长,同学以及老师的帮助与支持,以后小数老师还是会一如既往的原创好内容,帮助大家一起成长!谢谢! 高中阶段的解三角形一共有3个定理,正弦定理,余弦定理与三角形的面积公式,没有三角函数的公式多,但是考试时一般会考察这3个定理的变形,所以,同学们必须对这3个定理非常熟悉,才能解题。变形中,最常用的就是“边角互化”,下面小数老师重点来介绍一下这个应用。 例1、(2016桂林一模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,,,若 b∈[1,3],则c的最小值为( ) A、2 B、3 C、 D、 分析:从题目条件看,第一个式子很明显要进行转化,可以发现此式是关于“边”的齐次式,所以可以把边化成角,也就是a变为sinA,但是,变完之后就会发现,式子麻烦,而且我们也没见过,,式子越来越复杂,所以放弃; 继续观察,等号左边的分式分子分母都含有这几个角的正弦,但是并不是齐次式,分子是1次,分母是2次,能统一都变了吗?我们可以稍微试一下,先把分子上的正弦变为对应的边,分母只能变一个,会发现式子变为或者是, 那到底选择哪个呢?我相信同学们已经有判断了,等号左边的分子与余弦定理很像,再联系一下余弦定理,我们知道,肯定选择前面的式子,往余弦定理去扣就可以了。 答案:选择B. 注:齐次式,齐次”从字面上解释是“次数相等”的意思。 例2、(2016重庆校级模拟)在△ABC中,内A、B、C的对边长别是a,b,c,已知,且sin(A-C)=2cosAsinC,则b=( ) A、6 B、4 C、2 D、1 分析:本题有2个式子,两个式子都不是齐次式,好像不能变形,所以,很多同学就没有了思路,但是,第2个式子是可以进行化简的,左边的式子进行展开即可,化简为: SinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC,所以sinAcosC =3 cosAsinC,此时就可以进行边角互化了,把正弦值化为边,余弦值也化为边,可以得到边之间的关系,, 化简可得:,与第一个式子联立,可以得出b值。 答案:选择C. 例3、(2015闵行区一模)△ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,满足,则角A的范围是( )
分析:边角互化不仅在等式、分式中可以用,在不等式中也可以用。在这道题目中,不能直接用,因为如果直接变,只能是变成正弦,然后再进行化简,难度会增大,所以,第一步,是先化简式子。通过不等式,可以知道,不等号两边分式的分子分母都是正的,所以可以直接交叉相乘,得(a-b+c)(a+b-c) ≤bc,所以化简为 , 此时就明显了,可以利用余弦定理进行化简即可。 答案:选择B。 总结: 1, 当题目中出现关于边角的分式,等式或不等式时,这写式子一般是关系,而不是具体的值,此时就要考虑是否应用边角互化; 2, 边角互化的原则是:化繁为简,化未知于已知; 3, 更多的时候是采用正弦定理进行化简,尤其是出现齐次式的时候,当出现与余弦定理相关的式子之后,比如上面例3中的,才会用余弦定理; 4, 如果式子的坐标都是边,右边是余弦值,左边的式子又明显不是余弦定理时,此时一般会把右边的余弦值化为角。 上面4条,是小数老师在做题的过程中总结出来的,同学们在做题的时候可以验证一下! 原创不易,请同学们动动手指,转发到你的朋友圈,让更多的同学看到!另外,如有转载,请标明“来自高中数学微信公众号”,谢谢! 关于三好网 三好网是一家专门服务于中小学生,以在线1对1为主导的教学服务平台,借助于“好学宝”智能硬件,让学生可以足不出户,连接天下名师。目前,三好网已有1万名中高级教师,注册学员7万余名。 学生在家上课 家长在旁听 中小学辅导,在家上三好!现在报名,还有0元体验课,更有价值699元“好学宝”免费使用! |
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