用数学知识求解物理极值问题

用数学知识求解物理极值问题

 

摘 要：物理极值问题，就是求某物理量在某物理过程中的极大值或极小值。物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容，在高中物理的力学、热学、电学等部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，加之学生数理结合能力差，物理极值问题已成为高中学生学习物理的难点。随着高考改革的深入及素质教育的全面推进，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活结合，将会拓展解决物理极值问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。本文拟就本人在教学过程中遇到的一些极值问题作以探讨。

关键词：物理  极值问题   数理结合  求解

一、用二次函数求极值

在解物理问题时，若列出的物理方程满足二次函形式，则可由求二次函数极值的方法求解物理极值。主要有以下几种类型：

（二）   用二次函数极值公式求极值。

对于典型的一元二次函数y = ax² + bx + c,(a ≠0)

若a > 0, 则当 时 ,y 有极小值，为 y_min= ；

若 a < 0, 则当 时 ,y 有极大值，为 y_max= 。

例 1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s 2 的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

分析：根据题意，自行车做匀速运动，汽车做匀加速运动。汽车与自行车的位移之差是一个关于时间的二次函数，所以可以用二次函数极值公式求极值。

解：经过时间 t后，自行车做匀速运动，其位移为S₁=V_t，

汽车做匀加速运动，其位移为：

两车相距为：

这是一个关于 t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。

当  =2（s)时ΔS有最大值。

（二）利用一元二次方程判别式求极值

对于二次函数y = ax² + bx + c，(a ≠0)可变形为一元二次方程

 ax² + bx + c - y=0

用判别式法 即：

则由不等式可知 y的极值为：

对于例题 1，我们可以转化为二次方程求解。

将 可转化为一元二次方程：

要使方程有解，必使判别式

解不等式得： ，即最大值为6m

例1.一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少？
    分析与解：设电子碰前的速度为 ，碰后的速度为 ，静止的原子被碰后的速度为 ． 由动量守恒定律有  ①

由能量守恒有  ②

由①式解出 代入②

可得：

整理可得：

因电子碰后的速度 必为实数，所以此方程的判别式b²-4ac≥0 即

根据上式整理可得： ，

所以电子必须具有的最小的初动能是 。

B

θ

θ

图——

 例2.如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径。
    分析与解：首先，以带电小球为研究对象，据题意分析可知，小球受力如图：重力、洛仑兹力、锥面支持力，设小球圆周运动的半径为R，根据物体平衡条件、牛顿第二定律可得

                       

N

f

θ

mg

联立以上两式，可求出              

然后，要使方程成立，必须满足 ，才能使速度 有实数解。即

                  

不难求出             

显然，小球做匀速圆周运动的最小半径应为

              

 

例3.在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为h，速度为υ₀，求υ₀与水平方向成何角度时，水平射程最远？并求此最大的水平射程X_max。
    分析与解：以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。

              ①

       ②

消去时间t,可得

     ③

上式为关于tanθ的一元二次方程。若tanθ存在实数解，则判别式b²-4ac≥0   即

                 

由于 因而

解出结果后，我们可联系实际进行如下验证。设出手高度h=0, 则

                 

由此可知θ=45°。这就是我们过去曾经知道的一个物体做斜抛运动，当θ=45°时其射程最远。

 

（三）利用配方法求极值

对于二次函数 ，函数解析式经配方可变为

(1)若a>0时，当 时，y有极小值为

(2)若a<0时，当 时，y有极大值为

对于例题 1还可用配方法求解。

二.利用不等式求极值

（一）如果a，b为正数，那么有： ，当且仅当a=b时，上式取“=”号。

推论：

1.两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。

2.两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。

（二）如果a，b，c为正数，则有 ，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号。

推论：

1.三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小。

2.三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大。

例 2一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？

解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的 C时，重力的功率为：

P=mgυcosα=mgυsinθ…………①

小球从水平位置到图中 C位置时，机械能守恒有：

……………②

解①②可得：

令 y=cosθsin²θ

根据基本不等式 ，定和求积知：

当且仅当 ，y有最大值

由此我们可以得出结论：当 时，y及功率P有最大值。

三 利用三角函数求极值

（一）利用三角函数的有界性求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极值。若所求物理量表达式可化为“ ”的形式，可变为

           ，

当 时， 有极值 。

例 3如图所示,底边恒定为b,当斜面与底边所成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?

此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式 ,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。

解：设斜面倾角为θ时，斜面长为 S，物体受力如 图所示，由图知

  …………………①

由匀变速运动规律得： …………②

由牛顿第二定律提： mgsinθ=ma…………③

联立①②③式解得：

可见，在 90°≥θ≥0°内，当2θ=90°时，sin2θ有最大值，t有最小值。

即θ =45°时，有最短时间为：

（二）利用“化一”法求三角函数极值。对于复杂的三角函数，例如 ，要求极值时,先需要把不同名的三角函数 和 ，变成同名的三角函数，这个过程叫做“化一”。

令 ，则有

y

y

故 y的极大值为 。

例题4 物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为μ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？

该题的已知量只有 μ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有μ和G，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。

解：设拉力 F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，

即 ……①

……②

…………③

由联立①②③解得：

,

其中 ,∴

四 利用向量求极值

向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连后，必定构成三角形。利用点到直线的垂直线段最短可求极值。

对于例题 4，我们也可用矢量知识求极值。

将摩擦力 f和地面对木块的弹力N合成一个力F'，如图，F'与竖直方向的夹角为 （为 一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块的作用力F'和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定，F'方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如右图所示。只用当F与F'垂直时，即拉力与水平方向成 角时，拉力F最小为

而

故

五 用图像法求极值

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。

例 5 从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。

解：设最大速度为 V m ,即加速阶段的末速度为V m 。

画出其速度时间图象如右图所示，图线与 t轴围成的面积等于位移。即

    

即：

六、几何法求极值

    在初中几何中我们曾经学过“点到直线的距离以垂线为最短。”此结论对于求极小值问题，是一条捷径。

例6如图1-1所示，船A从港口P出发去拦截正以速度υ₀沿直线航行的船B 。P与B所在航线的垂直距离为a，A起航时与B船相距为b，b>a 。如果略去A船起动时的加速过程，认为它一起航就匀速运动。则A船能拦截到B船的最小速率为多少？

    分析与解：分析本题是两个运动物体求它们之间的相对位置的问题。若以地球为参照系，两个物体都运动，且运动方向不一致，它们之间的相对位置随时间变化的关系比较复杂，一时不容易做出正确的判断与解答。但如果把参照系建立在某一运动的物体上，（如B上）由于以谁为参照系，就认为谁不动，此题就简化为一个物体，（如A）在此运动参照系的运动问题了。当然解一个物体的运动问题比解两个物体都运动的问题自然容易多了。

以B为参照系，B不动，在此参照系中A将具有向左的分速度υ₀，如图1-2所示。在此参照系中A只要沿着PB方向就能拦截到B 。应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。过O点作PB的垂线，交PB于E点，OE即为A船对地的速度的最小值 ，在△AOE中

    ∵  而  
    ∴ ，由于灵活运用了几何知识，使较为复杂的问题，变为简单的几何问题了。

例7质量为m的物体，放在动摩擦因数为μ的平面上，在大小恒定的拉力F作用下，物体沿平面作匀速直线运动，问：F与水平方向成多大角时，拉力最小，最小值为多少?

分析与解：受力如图所示，由平衡条件，得

ΣF_x=Fcosθ－μmg=0

F_y=N+Fsinθ－mg=0

F= =

其中cotφ=μ，当（θ+φ）=90o，即

θ=90o－φ=90o－arccot（μ），

tgθ=cot（arcctgμ）=μ时

拉力有最小值，即当θ=arctgμ时，有

F_min=

 

几何法一般用于求极小值问题，其特点是简单、直观，把物体运动的较为复杂的极值问题，转化为简单的几何问题去解，便于学生掌握。
    以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。求最大和最小值问题，这类问题往往是物理学公式结合必要的数学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力。
    解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念，基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识。
    综上所述，无论采用何种方法解物理极值问题，首先都必须根据题意，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，这也是解决物理问题的核心，决不能盲目地将物理问题纯数学化。