【冲刺高考】抽象函数对称性的4个考点，你学会了吗？

小数老师说

抽象函数是高考的一个难点，一般在选填的压轴题中出现，解决这类问题有2个方法：1，特殊函数法，找到符合题目条件的一个函数，然后根据这个函数的性质图像等解题；2，根据题目条件画出此抽象函数的一般图像，然后根据图像解题。

而抽象函数中，对于对称性的考察尤为重要，而抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设是定义在R上的函数，若，则函数的图象关于直线对称。

证明：设点A（m，n）是图象上任一点，即，点A关于直线的对称点为。

∴点A'也在的图象上，故的图象关于直线对称。

二、设是定义在R上的函数，则函数与函数的图象关于直线对称。

证明：设点A（m，n）是图象上任一点，即，点A关于直线的对称点为。

∴点A'在的图象上。

反过来，同样可以证明，函数图象上任一点关于直线的对称点也在函数的图象上，故函数与函数的图象关于直线对称。

说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知，函数与的图象关于直线对称，由的图象平移得到的图象，由的图象平移得到的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数与函数

的图象关于直线对称。

三、设是定义在R上的函数，若，则函数的图象关于点对称。

证明：设点是图象上任一点，则，点A关于点的对称点为。

∴点A'也在的图象上，故的图象关于点对称

说明：

（1）当时，奇函数图象关于点（0，0）对称。

（2）易知此命题的逆命题也成立。

四、设是定义在R上的函数，则函数与函数的图象关于点对称。

证明：设点A（m，n）是图象上任一点，即，点A关于点的对称点为

∴点A'在的图象上

反过来，同样可以证明，函数图象上任一点关于点的对称点在函数图象上。

故函数与函数的图象关于点对称。

说明：此命题同样可以从图象变换的角度去理解。