数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——函数（二）

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——函数（二）

湖南省常德市安乡县第五中学　龚光勇收集整理

10．函数的单调性。

 

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

 

①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。

 

如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：）)；

 

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意

型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为。

 

如（1）若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且）)；

 

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。

 

如函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

 

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。

 

（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）。

 

如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）

 

11．常见的图象变换

 

①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。

 

如设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为__________(答： )

 

②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。

 

如（1）若，则函数的最小值为____(答：2)；（2）要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：；右)；（3）函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)

 

③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；

 

④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；

 

如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么                  　　(答：C)

 

⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。

 

如（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：)；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)。

 

⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的。

 

12． 函数的对称性。

 

①满足条件的函数的图象关于直线对称。

 

如已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____(答：)；

 

②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；

 

③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；

 

④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；

 

⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为

；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。

 

如己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是___________（答：）；

 

⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。

 

如若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则＝______（答：）

 

⑦形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线

(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。

 

如已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）

 

⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。

 

如（1）作出函数及的图象；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称 （答：轴）　

　

提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，需证两方面：①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上。

 

如（1）已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线。①写出曲线的方程（答：）；②证明曲线C与关于点对称。

 

13．函数的周期性。

 

（1）类比“三角函数图像”得：

 

①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；

 

②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；

 

③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；

 

如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有__________个实数根（答：5）

 

（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：

 

①函数满足，则是周期为2的周期函数；

 

②若恒成立，则；

 

③若恒成立，则。

 

如(1) 设是上的奇函数，，当时，，则等于_____(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________(答：)；（3）已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值(答：993)；（4）设是定义域为R的函数，且，又，则=       (答：)

 

14．指数式、对数式：

 

，，，，，

，，，

，， 。

 

如（1）的值为________(答：8)；（2）的值为________(答：)

 

15．指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。

 

16．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立型。

 

17．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：

 

（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：

 

①正比例函数型： ---------------；

 

②幂函数型： --------------，；

 

③指数函数型： ------------，；

 

④对数函数型： -----，；

 

⑤三角函数型： ----- 。

 

如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则____（答：0）

 

（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究。

 

如（1）设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有　A、 B、 C、 D、（答：A）；（2）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，，求（答：1）；（3）如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴；（4）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是____（答：负数）

 

（3）利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

 

如（1）若，满足

，则的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若，满足

，则的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；

 

　　

　　（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式。（答：）．