一、圆锥曲线的方程和性质: 1)椭圆 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程:(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0,c>0,c^2=a^2-b^2. 参数方程: X=acosθY=bsinθ(θ为参数,设横坐标为acosθ,是由于圆锥曲线的考虑,椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0,圆的acosθ=r) 2)双曲线 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 标准方程: 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程:(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程: x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3)抛物线 标准方程: 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程:y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程:y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程:x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程:x^2=-2py其中p>0 参数方程 x=2pt^2y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地,t可等于0 直角坐标 y=ax^2+bx+c(开口方向为y轴,a<>0)x=ay^2+by+c(开口方向为x轴,a<>0) 圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率,p为焦点到准线的距离。
二、焦半径 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y),则焦半径为: 椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex 双曲线P在左支,|PF1|=-a-ex|PF2|=a-ex P在右支,|PF1|=a+ex|PF2|=-a+ex P在下支,|PF1|=-a-ey|PF2|=a-ey P在上支,|PF1|=a+ey|PF2|=-a+ey 抛物线|PF|=x+p/2
三、圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程 以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y 即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1; 双曲线:x0x/a^2-y0y/b^2=1; 抛物线:y0y=p(x0+x)
四、焦准距 圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距,或焦参数。 椭圆的焦准距:p=(b^2)/c 双曲线的焦准距:p=(b^2)/c 抛物线的准焦距:p
五、通径 圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦成为通径。 椭圆的通径:(2b^2)/a 双曲线的通径:(2b^2)/a 抛物线的通径:2p
六、圆锥曲线的性质对比
七、圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点,求该弦的方程 ⒈联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程,由韦达定理得到两根之和的表达式,在由中点坐标公式的两根之和的具体数值,求出该弦的方程。 2.点差法,或称代点相减法。 设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2),代入圆锥曲线的方程,将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。(使用时注意判别式的问题)
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