请教“小幅单摆周期公式”的完整推导方法？ | 果壳网移动版

我们先从弹簧振子说起。
弹簧的弹力公式为 F = -kx，x为振子的位移，k为弹簧的劲度系数，F为振子受到的弹力，负号表示弹力与位移方向相反。
我们知道 F = ma，m是振子质量，而加速度a是位移x的二阶导数（位移x是时间t的函数）。
所以有mx'' = -kx。
这是一个微分方程，解法到大学才学到。
但如果lz是高中生的话，也能够猜出解的形式：什么函数求两次导之后跟原来的函数形式相同，符号相反呢？
答案是正弦或余弦函数。
很容易验证上述微分方程的通解是

其中t是自变量时间，A是振幅，代表相位，是个无关紧要的常数。
于是我们就得到了弹簧振子做的是简谐振动，其周期为

现在我们再来看单摆。

设摆球的质量为m，摆长为L。
当摆角为时，摆球的水平位移为，
摆球受到的合力与摆线垂直，大小为，它在水平方向的分力大小为。
由于这个力的方向与摆球的水平位移方向相反，所以。
在摆角足够小时，，于是有

就是说，单摆在水平方向上可以近似看成一个劲度系数 k = mg/L 的弹簧振子。
代入弹簧振子的周期公式，就可以得到单摆的周期公式

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@shy951125 利用圆周运动推导简谐振动周期公式的方法：

如图，蓝色小球做圆周运动，设其质量为m，圆半径为r，角速度为。
它受到的向心力大小为。
考察球的位置（相对圆心）与所受向心力在x轴上的投影，当它运动到角度处时，
x轴上的位置为，向心力在x轴方向上的分量为，
故有。
这说明，圆周运动在x轴上的投影相当于一个劲度系数的弹簧振子所做的简谐振动。
由就可得到，而周期。