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我们在前面讨论过圆周运动，这是一种周而复始的运动。虽然圆周运动也可以用一般的曲线运动研究方法来描述，我们发现用角描述更加简洁。所以我们为了描述圆周运动引入了角位移、角速度、角位移等概念。类比直线运动的研究方法，我们得到了运用角描述的一系列定律。 实际上，我们何尝不可以把其他的运动用圆周运动类比或作为桥梁呢？在生活中我们常常遇到一些其他的往复运动，比如树枝的摇晃、秋千的摇荡等。那么如何描述这些运动呢？我们有很多条思考的途径：从受力角度分析，从而根据受力特点得到结论；我们可以从运动角度分析，将这在几乎直线上的往复运动在时间上展开，研究其往复运动的周期性特征。 我们现在要研究这种往复运动——振动，该类运动中最简单的运动应该是哪种呢？还真是不好说！谁可以说从受力角度讲力的大小一直不变的振动与力的大小与离开平衡位置距离成正比的运动哪个更简单更基础？所以从直观角度不好判断哪种振动更基础。那么我们是否可以从类比角度来分析呢？我们知道圆周运动是一种往复运动，振动也是一种往复运动，这两种运动是否可以对应起来呢？我们如果让一个由细线连着的在光滑水平桌面上的做匀速圆周运动的小球，被平行光从侧面照射，则在后方垂直于光线方向的屏幕上会有小球影子做往复运动，就像是物体的振动。我们则可以用这种“类比”的方法（投影法）把这两个运动联系在一起了。如果有一个实际的运动和用匀速圆周运动的投影运动结果一样，则从效果上可以认为二者是一回事。这样，我们就可以得到这样的运动的描述与受力特征的一些结论了。假设一个小球的质量为 或许最开始研究振动的物理学家也是这么想的吧，所以把满足这种力特征的振动叫做简谐运动（Simple Harmonic Motion）。我怎么也没有弄懂这英文Harmonic的意思，只好自己瞎猜测或许是“协调、一致”的意思吧。如果真是这样，则我们的想法与历史上的物理学家很是一致了。 当然，我们也可以从数学的角度，直接运用动力学方程得出回复力（指向平衡位置的沿着运动轨迹方向的力）与离开平衡位置距离（即振动的位移）成正比的运动的位移表达式是关于时间的正弦函数。这与我们上面投影法得到的结论是一样的。所以说，我们可以用数学手段得到简谐运动规律，算是数学知识的运用；而反之我们假装没有掌握数学中的导数知识，则从投影法中我们得到了三角函数求导数的一种方法！这就是物理对数学的反哺吧。 我们如果在这张水平光滑桌面上沿着光线的方向摆上一系列的匀速圆周运动的小球，每个小球的运动半径、角速度都可以不同，必须相同的是这些圆周运动的圆心在同一条光线上。则我们能够得到一系列小球的投影，每一个投影都满足各自的运动规律。我们如果突发奇想，能否将这些所有的投影的运动进行各物理量的对应代数相加呢？即假想一个影子的运动位移描述是这些所有小球投影运动位移的代数和，速度描述是所有小球投影运动速度的代数和。从逻辑思维上来看这是完全可以的，因为各小球的运动是相互独立的。我们单独对这些小球进行考察发现，虽然每个小球都做周期性运动，但是各自的周期不相同，所以这个假想的影子的运动周期必须是这几个小球周期的公倍数。这样，我们突然发现那些复杂的往复运动（振动）也可以用几个简单的匀速圆周运动投影的运动叠加来描述。这从数学描述来讲，就是几个角速度不同的三角函数代数和组成的新函数。 或许到这我们才豁然开朗，为什么单个匀速圆周运动投影所对应的振动叫做简谐运动了——用这种方法果然能够从理论上描述所有的振动，而其中复杂的振动可以看成是很多个简单振动的叠加，而这简单的振动就是简谐运动。 当然，我们回过头来深入思考发现，如果我们真的这样描述的话，我们必须要求这受力情况也要能够在投影方向进行代数叠加，这就要求在这种材料中力随着距离的关系是线性的关系。巧的是，在数学上傅里叶通过对三角函数中的正弦函数的研究，发现一般的周期性函数都可以用三角函数的基频与协频分量叠加，即一般函数可以用三角函数傅里叶展开。这里的基频就是该实际函数的周期对应的频率，协频则是基频的整数倍。我们可以用上面所说的投影法来理解这种数学结果：多个不同的运损圆周运动所合成的等效运动的周期是每一个独立匀速圆周运动的周期的最小公倍数，则每一个独立匀速圆周运动的频率是这个等效频率的整数倍。而一般的材料也满足应力与应变之间的线性关系（可以理解为满足类似于弹簧的胡克定律）。 我们现在知道了振动是否是简谐运动的一般性判断方法，一是从位移随时间变化规律上看是否是正弦式函数，二是从回复力是否与偏离平衡位置的距离成正比。如果一个振动系统是孤立的，则在一旦振动起来之后就会永无止境地运动下去了。忽略阻力影响的弹簧振子和单摆就是很好的实例。我们通过投影法能够得到弹簧振子的振动圆频率与弹簧和小球质量之间的关系： 下面是我们对此思考的逻辑导图。
下面是教材的内容安排。
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