 圆锥曲线中定点定值最值与范围问题 真题体验 考点整合 热点焦聚 归纳总结 圆锥曲线中的定点与定值,最值与范围问题是高考必考的问题之一,主要以解答题形式考查,往往作为试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,试题难度较大,对考生的代数恒等变形能力,计算能力有较高的要求. 1.定值,定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程,数量积,比例关系等,这些直线方程,数量积,比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程,数量积,比例关系等,根据等式的恒成立,数式变换等寻找不受参数影响的量. 2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值,三角形面积 的最值等. 3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况: (1)距离型:若涉及焦点,则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解;若是圆锥曲线上的点到直线的距离,则可设出与已知直线平行的直线方程,再代入圆锥曲线方程中,用判别式等于零求得切点坐标,这个切点就是距离取得最值的点,若是在圆或椭圆上,则可将点的坐标以参数形式设出,转化为三角函数的最值求解. (2)斜率,截距型:一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中, 利用判别式列出对应的不等式,解出参数的范围,如果给出的只 是圆锥曲线的一部分,则需要结合图形具体分析,得出相应的不 等关系. (3)面积型：求面积型的最值,即求两个量的乘积的范围,可以 考虑能否使用不等式求解,或者消元转化为某个参数的函数关 系用函数方法求解.
探究提高 定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定'定值'是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似,在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定值显现.
探究提高 若一个函数式的分母中含有一次式或二次式,分子中含有一次式或二次式的二次根式,则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式,分子为一次式的函数式,这样便于求解此函数式的最值.
探究提高 求|OP|的取值范围的关键是用待定系数k,m表示其大小,找到k和m的大小关系式后利用已知条件0＜|k|≤求|OP|的取值范围.本题利用了不等式的性质,也可以利用函数,导数来求范围.
1.解答圆锥曲线的定值,定点问题,从三个方面把握: (1)从特殊开始,求出定值,再证明该值与变量无关;(2)直接推理,计算,在整个过程中消去变量,得定值;(3)在含有参数的曲线方程里面,把参数从含有参数的项里面分离出来,并令其系数为零,可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.
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