【致中考】几何综合问题中函数解析式的构造策略

几何综合问题中函数解析式的构造策略

几何型综合题常以动态几何知识为背景，以考察数学知识、数学思想的综合运用能力为目标，所涉及的数学思想主要有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等。近年来，它常作为中考的压轴题出现。

这类题型中，经常会有一问是研究运动中图形的数量关系，建立函数关系！

函数关系式的建立实际上是探求两个变量y与x之间未知函数类型的函数问题，如果我们把函数理解为关于x、y的二元方程，不管是何种类型函数，都可以通过寻找y与x之间的等量关系，建立方程来解决！

在几何型压轴题中，一类常见的题型是建立动点问题的函数解析式，常见的解析式构造方案有：面积构造、勾股构造、线段构造、比例构造！

构造图谱

一：应用“面积”建立函数解析式

在几何型压轴题中，应用“面积”建立函数解析式，常有以下几种形式：

1、面积补割建立函数解析式；

2、面积公式建立函数解析式；

3、面积比（同高、同底面积比；或相似三角形面积比）建立比例式；

例题1：

解答：方法1【面积补割】

方法2：【面积公式】

面积构造：运用三角形面积公式

只要找到底与高即可代入公式！！

图解如下：

再看一例：2009年上海市中考25题！读者自行完成！体会其中构造！答案自行做得！

与圆有关的面积构造----垂径定理的运用！！

题源自与闵行区2013二模。

二、应用“比例线段”建立函数解析式

在几何型压轴题中，应用“比例线段”建立函数解析式，是最常见的题型，常常运用：

1、相似三角形建立比例式；

2、运用三角比建立比例式；

3、运用A字形或8字形；

4、运用面积比建立比例式；

例题1：相似三角形建立比例式

记忆中，那年北京中考与上海中考的压轴题很像

例题2：三角比建立比例式

例题3：A字形与8字形建立比例式

例题4：面积比建立比例式

本例可归属于“面积构造”

本题为2015年上海中考25题第（1）（2）问：

下面为简略解答：

三、应用“勾股定理”建立函数解析式

上例为早期上海中考原题，不过关于定值问题，在近年上海中考中也曾出现，2012年考察了中位线！！与中点有关；上例为重心，也与中点有关！

2016上海市奉贤区中考模拟第25题

解答：关注“高线”的作用！！

2015上海市奉贤区中考模拟第25题

解答：关注“高线”的作用！！

运用『勾股定理』建立函数解析式，是非常常见的方案！尤其在以圆为背景、或以直角有关的图形为背景的题中最为常见！笔者喜欢称之为“勾股构造”，这样的压轴题动点构造方案，笔者建议学生们在初二一整学年就可以进行全面的训练！！别等到初三再开始训练，重要的事情做在前面，多积累这样的题型，到初三综合能力提升阶段，就会游刃有余！

同学们也应发现，这样的函数解析式构造问题，多出现在压轴题的第一问或第二问，而这种位置的题目，很多学生都会在解题时有压力，但事实证明，压轴题的起点还是比较可上手的，只要稍加训练，定能做出题来！

四、应用“线段和差”建立函数解析式

线段构造：

1、由已知线段，分析求得图形中的其余未知线段。

2、由动点产生的线段，通过全等、三角比、相似、勾股定理等基本知识，推导出图形中的未知线段。

笔者认为，以上两点是解决“几何综合题中的函数解析式构造”必须做的一个分析策略！即通过分析、转换，把所要解决的问题转化为基本的线段求解问题，在分析过程中，学生面对复杂的几何图形，需要做到多角度，全方位观察图形，挖掘图形中的已知条件与隐藏条件，寻找线段间的数量关系以及等量关系，同时对复杂图形进行分解组合，利用合理的推理，抓住运动变化过程中的不变量！

2011年上海市中考数学卷25题

【选取了第（1）（2）】

本帖主题是函数解析式，故对第三问不作分析，保留第一问，是因为第一问中藏着定义域！

一

图文解析：

以上是第一问图文分析！！

下图是第二问图文解析，包含定义域位置图！

一

解答：

再来一例，别嫌简单，

学会思考方法才是关键！！

再来一例：2016虹口二模25题