构造全等三角形巧证几何题

全等三角形是初中平几的重要内容之一，在几何证题中有着极其广泛的应用。然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。现略举几例加以说明。

一.证线段垂直

例1.已知，如图1，在中，AB＝2BC，求证：

图1

分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又，得到。则为等腰三角形。再取AB中点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。再由，，BD＝BD，得到。由全等三角形的对应角相等，得到，即。

二.证线段的倍分

例2.已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。求证：BD＝2CE（湖北中考题）

图2

分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。由BE平分，，得到为等腰三角形。根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。再由，AB＝AC，，得到，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD＝CF＝2CE。

三.证角相等

例3.已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：

图3

分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC＝BG，。而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。

四.证角不等

例4.已知：如图4，在中，，AD是BC边的中线。

求证：

图4

分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。延长AD至E，使DE＝AD，连BE。由DE＝CD，，BD＝CD，得到。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到BE＝AC，，在中，由，得到，而，所以

五.证线段相等

例5.已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB于点F，交AC的延长线于点G。求证：BF＝CG。

图5

分析与证明：要证BF＝CG，显然要构造三角形找全等。由ED垂直平分BC，连EB、EC，由垂直平分线性质可得，EB＝EC。又AE为的平分线，且，，根据角平分线性质可得，从而（HL）再由全等三角形的对应边相等立即可得BF＝CG。

六.证线段不等

例6.已知：如图6，在中，AB＝AC，P是三角形内一点，且，求证：

图6

分析与证明：PB、PC虽在同一三角形中，但与已知条件无直接联系，可利用图形变换构全等三角形。将绕顶点A逆时针旋转，使AB与AC重合，得，则，从而转化为比较PC与QC的大小，为此只须证即可。由，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得到，AQ＝AP，PB＝QC，所以，从而，即。由大角对大边得到，即

七.证线段和差相等

例7.已知：如图7，在中，，CD是的平分线，求证：BC＝AD＋AC

图7

分析与证明：由CD是的平分线，可利用角平分线的对称性。在BC上取一点E，使CE＝CA，连DE，由CA＝CE，，CD＝CD，可得。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AD＝ED，且，而，得到，从而，所以

八.证线段和差不等

例8.已知：如图8，D为的BC边的中点，，的平分线分别与AB、AC交于点E、F，求证：

图8

分析与证明：直接论证，条件不足，可设法将有关线段集中于同一三角形中，为此延长FD至M使DM＝FD，利用角平分线性质构全等三角形，帮助解决。延长FD至M，使DM＝FD，连结BM、EM。由DM＝DF，，BD＝CD，得到。由全等三角形的对应边相等得到BM＝CF。由，而，所以；又由，从而。再由，DE＝DE，得到。同样由全等三角形的对应边相等得到EM＝EF。而，所以。

从以上几例可以看出，有些比较棘手的平几证题百思不得其解时，根据图形的结构特点，添加适当的辅助线，巧构全等三角形，可迅速找到证题途径，使问题迅捷获证。真可谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。