渐开线斜齿圆柱齿轮M值公式的其他计算方法

牛人的尾巴 2016-06-19

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渐开线斜齿圆柱齿轮M值公式的其他计算方法

【来源/作者】中国计量报【更新日期】2014-8-8 14:51:19

一、渐开线斜齿圆柱齿轮M值的几种计算公式

文献[5]是按法向来计算的，它考虑了椭圆的曲率半径及其当量齿数，并在分度圆的基础上加上量柱中心当量值至分度圆当量值的距离就是量柱中心的距离。

式中:

α_n——齿轮在法向分度圆处的压力角；

m_n——法向模数；

β_f——在分度圆上的螺旋角。

(1-1)式还考虑了当量齿数的奇偶性。作者认为没有必要。法向当量齿轮与实际齿轮的接触情况仍有所不同。所以这组公式只是一种近似计算。

文献[1]是从齿轮的端截面来考虑的，其计算公式为:

式中:

α_df ——在端面分度圆处的压力角；

α_c ——在端面齿形过量棒中心处的压力角；

ξ_n ——法向变位系数。

而tanα_df=tanα_n/cosβ_f。

文献[2]也是从齿轮的端截面来考虑的，其计算公式为:

式中:

d_os——端面基圆直径；

β_b——基圆螺旋角；

S_fs ——端面分度圆齿厚，此处要考虑齿侧隙及齿廓变位的影响。

文献[3]也是从齿轮的端截面来考虑的，其计算公式为:

当齿数Z为偶数时，M=d_c+d_m(1-9)

当齿数Z为奇数时，M=d_ccos(π/2Z)+d_m(1-10)

文献[1]、[2]、[3]的表达形式虽然不同，但其实质是相同的，计算结果是一样的。文献[4]认为(1-6)式中想象的薄量棒直径d′_m=d_m/cosβ_b，这个想象量棒与端面齿廓接触。以此证明公式的正确性，上述公式是正确的，但证明的理由不够充分。

1.渐开线斜齿圆柱齿轮M值原有计算公式的推导

缺插图！

图1T点端截面几何关系图</CTSM>

缺插图！

图2量棒在分度圆上接触的几何关系</CTSM>

图1给出过接触点T平行于端面的截面图形，OY轴过接触点T，O点为齿轮轴心，OX轴为水平轴，C′为量棒在法向截面的圆心C在端面的投影，C′T的延长线与基圆切于B_t点。∠TOB_t=α_dt，α_dt是T点的端面压力角。圆心半径CT与端面的夹角为β_b，C′T=r_mcosβ_b，w_c=r_msinβ_btanβ_b/r_b，W_c是因为量棒中心C与接触点T在轴向有r_msinβ_b的距离，而使其投影点C′与齿槽中心线有W_c角度的偏转，导程L=2πr_b/tanβ_b，单位长度的偏转角k=2π/L=tanβ_b/r_b，tanβ_b=tanβ_fcosα_df。F点是端面齿廓与分度圆的交点(图2)，∠FOT=φ_t=invα_dt-invα_df，α_c=α_dt+W_t=α_dt+π/2Z₁-W_c+φ_t=tanα_dt-invα_df+π/2Z₁-r_msinβ_btanβ_b/r_b，tanα_c-tanα_dt=c'T/r_b=r_mcosβ_b/r_b，invα_c=tanα_c-α_c，将α_c代入可得

以上就是(1-6)式的推导过程(此处未考虑齿侧隙及齿廓变位的影响)。

二、在不用inv函数表时斜齿轮M值的计算

1.利用迭代计算求α_c

文献[1]、[2]、[3]在求α_c时都要根据invα_c的值查inv函数表才能得到α_c，它得到的准确度与inv函数表的有效位数有关。目前最高有效位数的inv函数表是8位。为了计算更精确一些，可不用inv函数表，也能求出α_c。但是要用下列公式进行迭代计算法来求出α_c。因为invα_c是已知的，先用tanα_c-α_c进行试算，初始的α_c用小数点两位数。使invα_c在三位有效小数上与已知的没有大的误差。并将其差值Δ(invα_c)求出，再将初始的α_c减去K乘Δ(invα_c)作为新的α_c。如此反复计算直至Δ(invα_c)小于要求的允许数值为止。

开始K可先取4或5，当Δ(invα_c)变符号时，K可逐渐减小，当Δ(invα_c)不变符号时，K可逐渐加大，直至Δ(invα_c)之绝对值小于允许数值为止。此计算可用计算机编程进行计算，也可用计算器进行计算，迭代次数很少，可以精确到小于5×10^-12。

例如invα_c=0.06593286047，求出α_c=0.5573984814，其误差在2×10^-11～5×10^-12。

编者注:本方法的目的是提高计算准确度。

2.计算公式中没有inv函数的M值计算方法

这里介绍一种适用于螺纹、蜗杆、斜齿轮的一组典型M值计算公式，其他形式的计算公式不一一介绍。螺纹、蜗杆、斜齿轮不同的对象还有其自身的一些特点。所以在表现形式还略有不同，但其基本思路是一致的。

式(2-1)中K=0.5～3，开始取K=3，也可取K=cosα_t /tanα_t≈cosα_n /tanα_n=2.56。d_t的初始值用d_f，d_m的初始值用d_m0，W_t的初始值用W_f。由式(2-1)～(2-7)进行迭代计算，直至d_m1=d_m为止，或当其误差小于允许值时即可进行其余的计算。若d_m1向d_m趋进速度很慢，可适当加大K；若d_m1在d_m上、下离散且收敛速度较慢，甚至扩大，则应减小K。也可用K=1/sinα_df作为初始值，以后用K=sinα_df。

d_m0、W_f 的计算由式(2-10)～(2-11)进行迭代计算。

W_f的初始值用W₀，W₀=sin^-1(πcos²β_f /2Z)。有关资料介绍用三线(针)作为量棒，而三线主要用于测量螺纹量规中径，其制造准确度要求极高；而且规格有限，很难选择与d_m0相差较小的三线。可以选用各种等级滚珠轴承用钢球或滚针、直柄铰刀或直柄钻头用于测量不同准确度等级的齿轮，对于同一研磨滚道的OO级钢球，其直径差与圆度均小于0.1μm，而且价格较三线便宜。选用铰刀柄和钻头柄时要选择两个柄的尺寸差在1μm以内。并且与d_m0的差值控制在0.1mm以内，这样可使齿形(压力角)误差对分度圆齿厚的影响减少到最小。其尺寸规格可参见有关轴承标准及刀具标准。必要时可专门制造，其尺寸可参考GB/T3478.9-1995标准，它给出的是圆柱直齿渐开线花键所用量棒的尺寸。

测量时还应考虑测量力对M值的影响，作者在文献[6]中介绍了螺纹测量时测量力对M值的影响，对于齿轮测量与螺纹测量之间的异同需作具体分析。

三、测量示例

例1:文献[1]之例，m_n=4，Z=19,α_n=20°，B_f =26°42′,法向变位系数ξ_n=0.4，d_m=7.5406mm，求M值。用文献[1]、[2]的公式计算结果为d_c=91.75218426mm，M=98.9794mm。用本文公式计算，d_m0=7.425941715，W_f=0.065705713，计算d_m0时，考虑了变位系数后仍在齿槽与齿厚相等的圆上测量M值。当d_m=7.5406mm，d_t=88.44359013，β_t=0.4817888431，α_dt=0.4717451327，α_t=0.424590687，φ_t=0.01788579765，W_t=0.06641127587，α_tτ=0.483212507，d_c=91.75218427，M=98.9794mm。此例最佳量棒应选7.4、7.5为好。它们的M值分别为98.5358、98.8132。

例2:文献[2]之例，m_n=3，Z=30，α_n=20°，β_f=30°，法向变位系数ξ_n=0，求M值。在文献[2]中，d_m按1.728m_n选择，d_m=5.184mm,d_f=m_Z=m_nZ/cosβ_f =103.926mm，tanα_df=tanα_n/cosβ_f，α_df=22°48′，d_b=cosα_df=95.805mm，S_fs=5.4414mm，tanβ₀=tanβ_fd_fcosα_df，β₀=28°02′，invα_c=0.03125，α_c=25°20′，d_c=106.0027mm，M=111.186mm。(文献[2]计算中有些不够准确，d_f=103.923mm，invα_dc=0.031350274，d_c=106.0195434mm，M=111.2035mm。)文献[2]用当量齿数的方法来计算，其当量齿数Z_y=Z/cos³β_f =46.188，取Z_y=46，当量齿数的分度圆直径d_fy=138mm，按当量齿数计算直齿圆柱齿轮的M_y=145.284mm，对于偶数齿:M=M_y-d_fy +d_f=145.284-138+103.926=111.21mm，与前一方法计算结果相差6.5μm。

用本文公式计算时，d_m0=5.079364781mm，W_f=0.03910142866,可在(5～5.5)mm间选择量棒，其中以5.0mm及5.1mm为最佳。此例用d_m=5.184mm进行计算，d_t=104.1419422，α_dt=0.4028349049 ， W_t=0.03971878105 ，α_t=0.3533704167 ，β_t=0.524510352 ，α_tτ=0.387673543，d_c =106.0195435，M=111.2035435，取M=111.2035。若取d_m=5.1,则M=110.8963。