2016年高考天津数学文理压轴题详解

试卷点评　今年的天津卷延续了去年天津卷的风格，非常重视对基本功的考查．选择题最后一题和填空题最后一题都中规中矩，不需要用什么技巧，只需要扎实的数学功底．解析几何大题也不涉及一些热点的圆锥曲线的性质，而是朴实无华的计算．压轴题大题是我们在模拟考试中经常遇到的“被关起来的二次函数”问题的升级版本，第(2)小题的提示给的非常隐晦，如果用常规方法颇有难度．总的来说，今年的天津卷的难度在全国各卷来说相对较高，而试题风格相对最稳定．

理科第8题（选择压轴题）：

已知函数（，且） 在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解　因为在上单调递减，所以解得
接下来思考函数的图象与直线以及的公共点个数，如图．

当时，符合题意．当变大时，设函数则，而，因此在区间上题中方程有且只有一个实数解．这样问题就转化为了方程在区间上只有一个实数解．设则，因此得到分界点．

情形一　．

此时，而的图象开口向上，因此方程在区间上有且只有一个实数解，符合题意．

情形二　．

此时，而的对称轴满足，进一步其判别式于是方程在区间上有且只有一个实数解，符合题意．

情形三　．

此时，而的对称轴满足，进一步可得其判别式即时符合题意．

综上所述，的取值范围是．

---

理科第14题（填空压轴题）：

设抛物线（为参数，）的焦点为，准线为．过抛物线上一点作的垂线，垂足为．设，与 相交于点． 若，且的面积为，则的值为______．

解　由题意可知，抛物线的普通方程为，点坐标为，准线的方程为，如图．

设点坐标为，不妨设．由于，故解得进一步可求得点坐标为．

因为与相似，且，所以即解得．

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理科第19题（解析几何）：

设椭圆()的右焦点为，右顶点为．已知 ，其中为原点，为椭圆的离心率．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

解　(1) 由 可知解得．故椭圆方程为．

(2) 如图，设点坐标为，其中，点坐标为．

因为，故，解得因为点在直线上，所以可以设点坐标为．由题意，，所以故因为，所以，解得．令，由于故；由于故．所以或．

设直线的斜率为，则因为或，所以或．

综上所述，直线的斜率的取值范围是．

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理科第20题（解答压轴题）：

设函数，，其中．

(1) 求的单调区间；

(2) 若存在极值点，且，其中，求证：；

(3) 设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．

分析　第(1)小题考查利用导函数研究函数的单调性；第(2)小题考查利用导函数研究函数的极值点．第(3)小题在第(2)小题的基础上可以画出极端情形：

在此基础上利用函数在处的函数值结合反证法证明结论即可．

(1) 函数的导函数．

情形一　．

此时恒有，于是函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．

情形二　．

此时函数有两个零点，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．

(2) 因为是的极值点，故由第(1)问可知，，且，即．由题意可知，关于的方程有且只有两个不同的实根．因为且（否则由可推出，矛盾），故即．

(3) 用反证法．假设在区间上的最大值小于．

考虑我们有所以但是矛盾．

所以在区间上的最大值不小于．

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文科第8题（选择压轴题）：

已知函数（），．若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解　函数可以化简为根据题意可知且函数的半周期不小于区间的长度．在得到后，可得在区间上讨论如下．

情形一　或．

此时其中．考虑到，于是解得

情形二　且．

此时解得．

情形三　且．

此时解得．

综上所述，的取值范围是，选D．

拓展　考虑将函数的图象进行拉伸，使其在内没有零点，考虑和最终的位置与区间的关系亦可．

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文科第14题（填空压轴题）：

已知函数（其中，且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_______．

解　因为在上单调递减，所以解得
接下来思考函数的图象与直线以及的公共点个数，如图．

当时，符合题意．当变大时，设函数则，而，因此在区间上题中方程有且只有一个实数解．这样问题就转化为了方程在区间上只有一个实数解．设则，因此得到分界点．

情形一　．

此时，而的图象开口向上，因此方程在区间上有且只有一个实数解，符合题意．

情形二　．

此时，而的对称轴为，于是方程在区间上没有实数解，不符合题意．

情形三　．

此时，而的对称轴满足进一步可得其判别式于是方程在区间上没有实数解，不符合题意．

综上所述，的取值范围是．

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文科第19题（解析几何）：

设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ．若 ，且 ，求直线 的斜率．　

解　(1) 由 可知解得．故椭圆方程为．

(2) 如图，设点坐标为，其中，点坐标为．

因为，故解得因为点在直线上，所以可以设点坐标为由题意，，所以故因为，所以，解得．从而，所以直线的斜率．

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文科第20题（解答压轴题）：

设函数 ，其中 ．

(1) 求 的单调区间；

(2) 若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证：；

(3) 设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 ．

解　(1) 函数的导函数．

情形一　．

此时恒有，于是函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．

情形二　．

此时函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．

(2) 因为是的极值点，故由第(1)问可知，，且，即．由题意可知，关于的方程有且只有两个不同的实根．因为且（否则由可推出，矛盾），故即

(3) 用反证法．假设在区间上的最大值小于．

考虑我们有所以但是矛盾．

所以在区间上的最大值不小于．

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