一课研究之'懂一点逻辑'

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本期内容有哪些

1. 听书：“阿凡提分羊”的逻辑问题
2. 阅读：懂一点逻辑知识
3. 拓展：“实践上错，逻辑上对”的芝诺诡辩

1.听书

“阿凡提分羊”的逻辑问题

阿凡提分羊的故事：17只羊，老大分得其中的1/9，老二分得其中的1/3，老三分得其中的1/2，羊必须整只分，怎么分？

2.阅读

懂一点逻辑知识

“如果路上的车辆能少一些的话，那么污染情况将是可接受的。我们要么减少车辆的数量，要么设置道路收费，或者两者同时执行。如果执行道路收费的话，夏天将会炙热得让人难以忍受。事实上，夏天正在变得十分凉爽。结论毋庸置疑：污染情况是可以接受的。”

上面这段话的陈述是否“站得住脚”，或者根本是毫无逻辑的？

两个前提一个结论

上面这段话非常复杂。因此，我们先看一些比较简单的论点。回溯古希腊哲学家亚里士多德（他被认为是逻辑学的创始者）。他的方法以各种不同形式的三段论为基础，是一种基于两个前提一个结论的三段陈述的论辩类型。下面是一个例子——

分隔线上面是前提，下面是结论。在这个例子中，无论我们对“猎犬”、“狗”、“动物”赋予什么样的意义，结论是必然的。

下面这个例子是相同的三段论，但是使用了不同的词语——

在这个例子里，如果以通常的意义理解那些词语，那么每一句陈述都是毫无意义的。但是，这两个三段论的例子都具有相同的结构，而且正是这个结构使得三段论有效。你绝对不可能找出这样一个例子，A，B，C符合这个结构，前提是真的，但结论却是假的。正是它使得一个合理论辩变得有用。

我们可以通过改变量词，如“所有”，“一些”，以及“没有”，来获得三段论的其他形式。如——

这个论辩有效吗？它适用于所有的A，B，以及C吗？还是说它是一个潜藏的反例，一个前提为真但是结论却是假的例子？如果让A为猎犬，B为棕色物体，C为桌子，那么下面的例子让人信服吗？

我们举出的反例说明了这个三段论是无效的。有非常多不同的三段论类型，这些分解论辩的方法一直持续了超过2000年之久，而且在中世纪的大学学习中占据了至关重要的位置。亚里士多德的逻辑（他的三段论）被认为是至19世纪最完美的科学。

命题逻辑

另一种形式的逻辑要比三段论走得更远。它用于处理命题或简单的陈述，以及它们的组合。要分析篇头的观点，我们先要学习一些“命题逻辑”的相关知识。它曾经被称作“逻辑代数”，因为乔治·布尔意识到它可以作为一种新的代数来对待，这给了我们一些关于它的结构的线索，在19世纪40年代，布尔和奥古斯都·德摩根等数学家对逻辑做出了相当多的工作。

让我们具体看一下。考虑一个命题a，a代表“阿旺是一只猎犬”。命题a可能为“真”或是“假”。如果那只名为“阿旺”的狗，它的确是一只猎犬，那么这个命题就是真的（T），但是如果“阿旺”是我家的猫的名字，同时说的又是这只猫，那么这个命题就是假的（F）。一个命题的真假取决于它的参照物。

如果我们还有另一个陈述b，如“咪咪是一只猫”，那么我们就可以以几种方式组合这两个命题。一种组合写为a ∨ b。连接符“V”表示“或”，但是它在逻辑中的使用和日常中的“或”略微有些不同。在逻辑中，如果“阿旺是一只猎犬”， “咪咪是一只猫”，两者有一个为真或两者都为真，那么a ∨ b为真。只有当a和b都为假时，a ∨ b才是假。这种命题间的关联可以用一个真值表来概括（如下表）。

我们也可以使用“与”来组合命题，写为a∧b，它们的真值表关系如下。

另外还有“非”，写为￢a。它们的真值表关系如下：

如果我们通过混合的形式将连接符∨，∧，￢与a，b，c组合起来，如a∧（b∨c），逻辑代数便会更加清晰。我们可以得到一个等式，称为同一性。

a∧（b∨c）≡（a∧b）∨（a∧c）

符号≡表示两个逻辑陈述等价，即符号两边具有相同的真值表。这时逻辑代数和普通代数之间的一个对应，因为符号∧和∨与普通代数中的×和＋具有类似之处，在普通代数中，我们有x×（y＋z）＝（x×y）＋（x×z）。但是，这个对应并不总是成立，存在一些例外。

其他逻辑连接符可能是跟根据这些基本符号定义的。一个有用的连接符是“逻辑蕴含”a→b，它的定义等价于￢a∨b，其真值表如下：

现在，我们回过头来看一下开头的那个论述。我们可以将它写成为符号形式，并给出它的论辩：

这个论辩是否有效呢？让我们假设结论P是假的，但是所有的前提都是真的。如果我们可以证明这个假设是一个谬论，那么意味着论辩是有效的，从而也就意味着不可能前提都为真，结论却为假。如果P为假，那么根据第一个前提C→P，C必须为假。由于C∨S为真，那么C为假的是意味着S为真。根据第三个前提S→H，则H应当为真。也就是说，￢H是假的。这与最后一个前提￢H假设为真，相矛盾。尽管这个开篇陈述的内容仍颇具争议，但至少论辩的结构是有效地。

当然，除了上述的“两个前提一个结论的三段论”和“命题逻辑”外，还有其他逻辑，比如“一阶谓词逻辑”、“模糊逻辑”等。这里不再一一赘述。

（本文节选自《你不可不知的50个数学知识》）

3.思考

芝诺诡辩

芝诺是古希腊的哲学家和数学家，他有一个著名的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩。大意是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善于跑步的英雄，它与乌龟赛跑，乌龟在前，阿基里斯在后，那么阿基里斯永远也追不上在他前面的乌龟。芝诺的理由是：因为阿基里斯在追上乌龟的起点时，乌龟往前走了一段路程，当阿基里斯再次追过这段路程时，乌龟又往前走了一段……这样下去，虽然阿基里斯越追越近，但永远追不上乌龟。

当然，这个结论实际上错误的。因为芝诺把阿基里斯追赶乌龟的路程任意地分割成无限多段，用有限去解释无限。

奇怪的是芝诺的诡辩在逻辑上没有任何毛病，得到的结论却是错误的。“实践上错，逻辑上对”这一结果正说明了逻辑定理与事实常常不一致，不能单靠纯粹的数学推理来解释实际生活中的问题。

 

你若盛开 蝴蝶自来