1. 设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．
【解析】
分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．
证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b<>< span=''><>
那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．
即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．
∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．
由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．
说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成立。例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余数不为0。
2. 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？
【解析】
设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是
1×（1+0％）＝1.3.其中
80％的卖价是 1.3×80％，
20％的卖价是 1.3÷2×20％.
因此全部卖价是
1.3×80％ ＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17.
实际获得利润的百分数是
1.17－1＝ 0.17＝17％.
答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％.
3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元？
【解析】
设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.
乙店的定价是 1×（1＋ 15％），甲店的定价就是 0.9×（1＋20％）.
因此乙店的进货价是
11.2÷（1.15- 0.9×1.2）=160（元）.
甲店的进货价是
160× 0.9= 144（元）.
答：甲店的进货价是144元.
设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些.
4.开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？
【解析】
设去年的利润是“1”.
利润下降了40％，转变成去年成本的 10％，因此去年成本是 40％÷10％＝ 4.
在售价中，去年成本占
因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％.
答：今年书的成本在售价中占88％.
因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.
5 一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？
【解析】
设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.
现在出售 70％商品已获得利润
0.5×70％＝ 0.35.
剩下的 30％商品将要获得利润
0.5×82％-0.35＝0.06.
因此这剩下30％商品的售价是
1×30％＋ 0.06＝ 0.36.
原来定价是 1×30％×（1+50％）＝0.45.
因此所打的折扣百分数是
0.36÷0.45＝80％.
答：剩下商品打8折出售.
