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1. 余数相同求除数有一个不等于1的整数，用它去除967、1000、2001，得到的余数相同，这个整数是多少？
如果用一个整数分别去除几个整数，所得到的余数相同，那么这个数一定能整除这几个数两两的差，即所求整数能整除967、1000、2001两两的差。967、1000、2001这三个数两两的差为：1000－967＝33＝3×112001－967＝1034＝2×11×472001－1000＝1001＝7×11×13所求整数一定是33、1034、1001的公约数，33、1034、1001的公约数是11，所以11就是所要求的数。
2. 有4 个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是2 的倍数，任意三个数的和都是3 的倍数。为了使这4 个数尽可能地小，这4 个数的和是多少？
要满足“任意两个数的和都是2 的倍数”这个条件，这4 个数的奇偶性必须相同，要么都是奇数，要么都是偶数。 要满足“任意三个数的和是3 的倍数”这个条件，要求这4 个数中的每个数要么都是3 的倍数，要么都是被3 除余1 的数，要么都是被3 除余2 的数。但又要求“这4 个数尽可能地小”，经试验，只有每个数都是被3 除余1 的数才行。 所以，这4 个数为：1、7、13、19这4 个数的和是：1＋7＋13＋19＝40
3. 甲、乙二人是朋友，他们都住在同一条胡同的同一侧，甲住11 号，乙住189 号。甲、乙二人的住处相隔几个门？
解析
甲、乙二人的家之间所有的门牌号组成了一个等差数列：11、13、15、17、……、189.它的首项a1＝11，公差d＝2，末项an＝189.这串数列的项数，可由等差数列通项公式的变形公式求出：n＝（an－a1）÷d＋1＝（189－11）÷2＋1＝89＋1＝90由此可知，从门牌11 号到189 号共有90 个门牌号，所以甲、乙二人住处相隔90－2＝88 个门。
4. 有一个正方体，棱长是13，它是由13×13×13＝2197 个单位小立方体粘在一起构成的。从正方体的一个顶点望去，最多能看到多少个单位立方体？
从正方体的一个顶点最多能看到正方体相邻的三个面，每个面含有13×13＝169 个小立方体的面。三个面共看到169×3＝507 个小立方体的面。三个面相交成三条棱，三条棱上共有13×3－2＝37 个小立方体，其中有一个小立方体在顶点上。显然，顶点上的这个小立方体，我们能看到它的三个面；其余36 个棱上的小立方体，我们能看到它们每个两个面；至于其他能看到的小立方体。我们只能看到它们每个一个面。由此不难推出，能看到的小立方体的个数为507－2－36＝469（个）
5. 40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗。这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如右表所示。如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完成挖树坑的任务，又使树苗运得最多?
设甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有x人、y人、z人，其中 0≤x≤15，0≤y≤15，0≤z≤10， 则甲、乙、丙三类学生中运树苗的分别有(15-x)人、(15-y)人、(10-z)人。要完成挖树坑的任务，应有 2x+1.2y+0.8z=30， ① 即 20x≥300-12y-8z. ② 在完成挖树坑任务的同时，运树苗的数量为 P=20(15-x)+10(15-y)+7(10-2) =520-20x-lOy-7z。 ③ 将②代人③，得 p=520-300+12y+8z-lOy-7z =220+2y+z。 当y=15，z=10时，P有最大值， =220+2×15+10=260(棵)。 将y=15，z=lO代入①，解得 x=2，符合题意。 因此，当甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有2人、15人、10人时，可完成挖树坑的任务，且使树苗运得最多，最多为260棵。
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