中学时没能学好函数，是因为没有理解函数图像的真正意义

既然图像那么好用，那为什么还要有函数式呢？

这是因为函数式的好处，是保证绝对准确。

图像虽然直观，但是永远都做不到绝对准确。因为图像是画在纸上的，只要一旦落在纸上，就一定有误差。且不说画图时手抖之类的客观因素，从理论上也可以证明图像是无法做到绝对准确的：

因为在理论上线是没有宽度的，所以我们无限放大一条函数线，它应该永远都是一条没有宽度的线。但这在图纸上是不可能体现出来的。哪怕是在计算机里画出的图，当不断放大，我们最后看到的都是一个巨大的像素点，而不可能是一条没有宽度的细线。

你可能会觉得，有这么必要吹毛求疵吗？

的确，在日常生活中，我们对图像精度的要求的确是有限的。打个比方，在公司会议上，有人贴出一张图表：“请大家看，这是我们公司今年的利润曲线。”这个时候肯定不会有人站出来说：“你这个曲线是有宽度的，它不够准确！所以这个报表是虚假的！”

因为大家都默认这些图标只要大致准确就可以，存在的误差完全不会影响我们对公司业绩的判断。

那么，为什么我们还需要“绝对准确”的函数式呢？

这是因为，误差会随着复制次数的增加而不断增大。

在三十年前，人们在家看电影是用录像带。录像带的原理类似照相机，能把电影的每一帧画面都复制在磁带上。但是任何设备都会有瑕疵，所以录像带在每次记录画面的时候，都免不了要出现一些误差。电影公司自己出品的正版录像带是从原版胶片上翻拍下来的，画质最好，即便有一点误差，人眼也看不出来。但影迷们在把录像带买到手后，往往会翻录成更多份的录像带，每一次翻录都会增加一些新的误差，随着累积翻录次数增多，录像带的画面也就越来越差了。

如果世界上只存在函数图像，没有函数式，遇到的问题就会和录像带一样。第一个人画的函数图像还可能比较准确，但是后人根据他的图像重新再画的时候，误差会越来越大。函数图像已经发明了几百年，如果光靠图像来传播，传到今天可能已经变成了鬼画符，根本没有实用价值了。

我们需要函数式，就是为了保持函数图像永远不会“失真”。这个思路，和如今的数码图像是一样的。今天我们所有的图片、视频文件，都不再是录像带时代那样保存在磁带上，而是先“数字化”，变成数码文件，再保存在硬盘、闪存上。

“数字化”的意思是，根据一定的规则，把图片上的每个点的坐标位置、颜色编号都记录下来，等于把一张图片等价变成一堆数字。然后再储存、复制图片的时候，本质上是储存、复制的这些数字。这样一来，一张图片无论复制多少次，都不会失真了。]

我们上课要学的函数式，就相当于是图像“数字化”后的那一大堆数字，它的缺点是复杂难懂，优点是“绝对准确”。

而在所有的学科里，数学是最严谨的，因此你可以发现一个现象：绝大部分关于函数的考题，在题目里一定会出现函数式（或者关于函数式的线索），解题也都是从函数式开始下手。

这是我们学到的一个重要经验：绝大部分函数题，都是通过函数式做函数图像。只要图像画出来了，题就解出来了。

那么，该怎么把函数式变成函数图像呢？

听着似乎很麻烦，其实我们每个人平时都做过类似的事，那就是找路。

比如你要去找朋友玩，对方会发给你一个具体地址：“ X街X小区X号楼X号。”

接下来我们会发现，自己的位置和这个地址，在地图上是通过若干道路联系在一起的。在前往这个地址的过程中，我们只需要记下每一个路口应该如何走就行了。

画函数图像的原理也是一样。最关键的，是线上最重要的几个点（也就是路口）。

第一类点是交点，比如函数图形和x轴、y轴的交点，或者和其他函数的交点。具体的求法很简单，上课都讲过，只要把两个函数连立成方程组，求解就可以了。

第二类重要的点，是极值点。用白话说，就是函数图像“拐弯”的地方。比如

最上面的那个顶点。

这类点怎么求呢？有一个非常方便的工具：“导数”。

这个“导数”的“导”，可以理解成是“导航”的“导”，是我们在路上的导航仪，它随时显示一个数字，描述的是我们前进的方向。

如果我们的家在坐标轴的左边，女同学的家在坐标轴的右边，我们正在从左向右前进，那么“导数”描述的，就是我们前进的路线是偏上还是是偏下：

当导数大于0的时候，说明我们的方向偏上了，函数图像正在朝右上方前进，这就是传说中的“增函数”。

反之，当导数小于0的时候，说明方向偏下，函数图像朝右下方前进，那就是“减函数”。

而当导数等于0的时候，说明方向是正好朝右。

导数有意思的地方在于，每当我们前进的方向发生重大改变的时候（从朝上改成朝下了，或者反过来），在改变的最关键的一瞬间，导数必然等于0。所以我们只要找到了导数等于0的那一刻，就等于找到了函数图像拐大弯的那一刻。就好比的顶点那样。

当我们有了函数（和坐标轴或者其他函数的）交点，又有了导数等于0的顶点，我们就掌握了函数图像上最关键的几个点。然后用平滑曲线把这些点连起来，一个大致准确的函数图像就产生了。