是从不同角度、不同方法去分析问题，解决问题，对于培养学生的创造性思维是十分必要的。但“一题多解”的最终目的不是来展示有多少种解决问题的途径，也不是所有的题目都需要用多种方法去解答，而是要寻求一种最佳、最近的途径。那么，在“一题多解”后进行“一题多思”，思考问题解答的整个过程，包括解答过程中遇到的难点及突破难点的方法，解答过程中用到的数学思想方法，问题解答的经验，对于寻求最佳、最近的途径和提高学生的数学思维能力都是很有帮助的。今天，我们就以一道几何题为例，谈谈从“一题多解”到“一题多思”。在△ABC中，点D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13，试判断AD与AB的位置关系.分析：在平面上，两条线段的位置关系分为平行和相交两大类。其中，相交的特殊情形是垂直。先观察图形，AD与AB很像垂直关系；再分析数字5、13、6与勾股数5、13、12很接近，而题目中的6是中线长，倍长中线后就能构造出12。所以初步猜想：AD与AB的位置关系是垂直。接下来，考虑如何证明猜想：AD与AB的位置关系是垂直。在△ ABD中，求出BD边的长，由勾股定理的逆定理证明结论。要求出线段BD的长，考虑使用勾股定理，又能使用上5、6、13三条边，过A作AE垂直BC交BC于E,则AB、AD、AC都在以AE为直角边的直角三角形中，∴△ ABD是直角三角形，∠BAD=90°，AB⊥AD.
此方法思路很常规，作垂直，设AE=x,利用勾股定理建立方程，解关于x的方程，最后得到BD的长，再根据勾股定理逆定理判断.但是计算显得有些烦杂，难度略大。作辅助线如方法一，目的就是为了求BD的长，作AE垂直于BC，目的为了使用上已知的几条边，设BD=a,设BE=x,则DE=(a-x),CE=(2a-x)AE2=AB2-BE2=AD2-DE2=AC2-CE2,选取AB2-BE2=AD2-DE2=AC2-CE2其中两个等式进行计算,不妨选择AB2-BE2=AD2-DE2， AD2-DE2=AC2-CE2，代入得∴△ ABD是直角三角形，∠BAD=90°，AB⊥AD. 此方法在第一种方法的基础上，直接设BD=a,再设了个辅助未知数BE=x,利用勾股定理建立等量关系，解方程，当对方程组进行化简的时候发现，可以使用整体代入法直接求出a2，计算量不大，但在设未知数的时候，略费工夫。此处辅助未知数x作用重大，设而不求，把几条边之间的数量关系表示得非常清楚可以倍长中线，得到数字12；也可以构造中位线，利用中位线性质得到12。再利用几何图形的性质把数字5、12、13放到一个三角形中，由勾股定理逆定理证明结论。D是BC中点，已知的三条边不在一个三角形中，考虑倍长中线的办法延长AD至E,使AD=DE,易证△BDE≌△CDA ，则BE=AC=13，在△ABE中，BE2=AB2+AE2，则△ ABE是直角三角形，∠BAD=90°，AB⊥AD. 倍长中线法是典型方法，带有一定的技巧，此方法是利用了构造全等三角形把AC转移到了与求证有关的一个三角形中，根据勾股定理逆定理可以判断三角形的形状，从而判断出两直线的位置关系。过C作CE∥AB交AD延长线于E, 易证△ABD≌△ECD,CE=5，AE=2DE=12，∵CE∥AB,∴∠E=∠BAD=90°，AB⊥AD.此处AB=5，AC=13，AD=6， 5,12,13，就是一组勾股数，可以利用构造以AD为中位线的三角形解决问题.延长BA至F，使AF=BA，连接CF，则AD是△BCF的中位线，所以△AFC为直角三角形，∠F=90°，CF∥AD，∴∠F=∠BAD=90°，AB⊥AD. 根据三角形中位线的性质，平行于底边且等于底边的一半。平行可以转移角，而一半或者2倍的数量关系可以转化我们所需要的线段，这种方法在很多类似的题目中经常用到。 以上四种解法展示了一题多解，分别从代数和几何的方法进行了求解。正如前面所说：“一题多解”的最终目的不是来展示有多少种解决问题的途径，也不是所有的题目都需要用多种方法去解答，而是要寻求一种最佳、最近的途径。 下面我们对这道例题的“一题多解”进行“一题多思”，思考问题解答的整个过程及难点突破的方法，解答过程中用到的数学思想方法和学生已有的解题经验，以求遇到问题时能够选择恰当的方法进行突破，提高分析问题、解决问题的能力。 在初中数学阶段，我们证明两条线段垂直的常用方法有：1、勾股定理逆定理；2、一边的中线等于这边的一半，则这边所对的角为直角；3、等腰三角形三线合一；4、直径所对的圆周角为直角。考虑到学生的已有学习经验和这道例题的条件，选择使用勾股定理逆定理来证垂直。 从形的方面看，AB与AD的位置关系是垂直。在△ ABD中，已知AB、AD的长，如果能够求出BD的长，则可直接利用勾股定理的逆定理证明结论。方法一和方法二就是在这个思路的指导下，先做垂线，构造直角三角形，再设未知数，由勾股定理建立等量关系，通过代数的方法来求解。此时是“以形助数”，但显然计算量很大，比较繁琐。 从数的方面看，5、13与6的2倍是勾股数。通过倍长中线或者中位线构造6的2倍，得到数字12，把5、13、12放在一个三角形中，很容易得到直角三角形，此时是“以数辅形”，非常直观，基本上没有计算量。 数缺形时少直观，形少数时难入微。在面对一个数学几何问题时，我们可以从数的角度看，“以数辅形”；也可以从形的角度看，“以形助数”。从而找到解决问题的最优途径。
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