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我搞数学竞赛的一些心得。第一，只是个人想法，还很不成熟。第二，某些说法也许不好理解，但所谓学习方法，本来就是只能大致说说的。我希望对数学有自己的思考的同学看了这些文字之后能受到一些启发。 几 何 1．平面几何 ① 基本欧氏几何知识结构 基本的辅助线，点，圆，相似形的应用。 推荐：《奥数教程》（初三）、各地中考题及模拟题 ② 对几何结构的把握，对称性，各种近代欧氏几何框架，几何变换。 推荐：《近代欧氏几何学》，建议使用软件几何画板并参与与之相关的网上讨论。缺少一本习题集，可使用《几何变换》，及叶中豪的习题，《数学竞赛中的平面几何问题》（一本俄罗斯的书，此书组合几何部分也很好）中几何变换及反演射影几何。 ① 基本知识：已知与未知的互化，元的设置，设计计算路线。 ② 每一步计算的几何意义，计算中的对称性，代数结构。 以下基本观点： 几何中关系到达一定的复杂度后，代数的使用是自然而且必须的。不应一味地强调使用解析法盲目运算（解析法能解决问题，但不能很好地揭示问题的内部结构），也不应一味地强调使用纯平几。这两者都易忽略问题的实质，一切以自然为上。 我们熟知的几何计算方法大体有： ① 欧氏几何公理中直接使用未知量计算 ② 解析法 ③ 复数法 ④ 向量法 ⑤ 利用定理AC⊥BD，AB2+CD2=AD2+BC2 ⑥ 三角法 但实际上每道题都有自己的结构，也有一套独特的最简洁的代数表示，它是一题一法。以上六种方法的使用也是因题而异，使用的过程中有诸多技巧，绝不可盲目计算。 推荐：《解析几何的方法与技巧》、《圆锥曲线的几何性质》、《三角与几何》 推荐：《奥林匹克数学研究教程》立体几何部分、《奥数教程》系列中向量部分、《几何不等式》 代 数 基本观点：元的理解和使用（代数变形），注意对称。 1．多项式：理解“不定元” 三个基本视角：系数，根，值 推荐：《奥数教程》（高三） 2．函数方程：注意函数的定义；一种二元关系。 方法：逐层递推，巧妙代元。 0，1，零点，不动点，单射，满射，单调，奇偶…… 推荐：《题典·代数卷》 3．不等式：另见笔记 较易的不等式可以组合成较复杂的不等式。 推荐：《小丛书》两本，《湖南·代数卷》 数 论 注意整个理论体系，数论的体系性很强，同时基本理论中也包括了最基本的思想方法。任何一道数论题也都有相应的一串问题及明显的背景。但掌握体系必须符合人正常的思维规律。体系是从大量事实中抽象出来的，应先让学习者纯凭直觉做一些数论题，在适当的时候引导他自己发现更基本的规律，或给他点明不必强行追求“返璞归真”，高级的理论自然是有用才会提出，如果它能揭示问题的本质就可大胆使用，而且应该使用。 不定方程是竞赛的重点，注意代数变形在数论中的应用。 推荐：《初等数论》、《数论讲义》 组 合 组合无体系，是纯直觉的。 推荐：《华南师大附中习题集》，环球城市竞赛题，俄罗斯赛题，《组合卷》（题典，湖南） 【书目评论】 《华南师大附中习题集》：经典，特别是组合部分，题题经典，将灵巧流畅的解题及思维方式发挥到极致。 《叶军教程》：研究性很强，适合由老师认真研读后讲解。 《奥林匹克数学研究教程》：风格独特，有思想性，在时间充裕的情况下建议全书阅读。 《走向IMO》：好题不少，但难度太大，可用于少数选手在专题训练时配合使用。 对几个基本概念的诠释 【本质】 “本质”并不是什么高深神秘之物，我们说一种说法是本质的，其实只是说这种说法最为简单，能揭示更多的相关问题，更具有启发性等等。我们初做题时，看到证明过程中的方法技巧觉得很巧妙就有兴趣，但做到一定程度之后，就不会满足于简单地做出题来，而要追求最简单和最新颖的思维方式，以及将各种不同的题目分类，统一。这实际上就是对本质的追求。 【结构】 一个结论单独存在没有意义，如果它能解决某一类问题，就显得有意义。如果有许多结论互相关联，或是许多事物互相影响协同变化，特别是当我们可以感觉到其中有某种我们还不知道的内在联系时，我们就会对它产生兴趣。所谓结构就是指这一类而言。比如群的结构，图的结构，或是数论中各定理组成的逻辑结构，或是几何中点线圆相似形组成的几何结构。结构中往往有某种对称性。对结构的领悟可以培养深层的数学直觉。 【思维】 人的思维的基本方式是归纳，即从自己的生活、以前的经历中获取经验，提出规律。比如数的概念最初就是人类在日常生活中提炼出来的。比如我们初学电学的时候，可能对“电压”、“电流”等概念完全无法理解，更不能应用自如，但学了一段时间之后，做了不少习题，就自然而然地对这些概念有了理解，能够应用，甚至能够提出一些更深刻的问题或概念。我们学习数学时，见过的技巧也不能保证立刻就会应用，而是必先经历一段对技巧的内部结构的把握和理解的过程。也许要将一个技巧重复见上多次，也许要接触更深刻的东西才能理解这个技巧。所以，做过的题不会做很正常，因为对这个题还没有真正理解。 【关注思维】 学习一个概念或是一种技巧，都需按人正常的思维方式进行，最好是让它由学习者在学习了一些相关内容之后自己提炼出来，也可以在学习者遇到困难纠缠不清时由教师点破迷雾。比如数论的理论体系和组合的直觉就可以长期少量地进行培养，先让学习者自己做一些题目，他也许不十分了解数论中的各种定理，但凭借直觉他就可以自己解决一部分问题。控制题目的难度和知识点，可以引导学习者自己把那些基本定理悟出来。等时机成熟的时候再引导学习者将所有的经验总结归纳，补充不足，形成完整的知识结构。也可以按正常的课本授课，讲述一些基本知识，让学习者用它们解决问题，但需给他们时间，慢慢悟出其中奥妙。 【思维模式】 学习者在接触了一些问题之后，不但会形成应对某种特殊问题的特殊方法，而且会形成一种可以用来应对新问题的普遍措施，即思维模式。要解决一个问题，解法往往很多，每一种解法都包含了许多不同步骤，从任何一个步骤入手都有办法得到整个解法。 通常的思维模式有： 归纳：从具体事例中得到启发，如先考虑特殊情况。 划归：把问题的解决转化为它的具有本质特性的一部分的解决。 猜想：为解决问题，先猜想出一些可能的中间步骤或结论，这往往需要较强的数学直觉。 等价变换：把问题换一种语言叙述，从不同的角度、不同的背景看问题。如反证法是从反面看问题，同一法是交换问题的条件和结论。再如一个不减的整数列An无上界，也就等价于有无限多个n使A(n+1)>An。有时可以重组问题的条件和结论，分析定与动的关系，比如几何变换及不等式中的调整。 初学者以自己知道的方法技巧来套题目，没有思维模式可言。高手的竞争往往是思维模式的竞争。对于数学直觉更强的学习者，也许可以超越思维模式的限制，任凭直觉自由发展，但这已远远超越数学竞赛的范畴。数学竞赛的培训的目的，是培养面对更多新问题的思维模式。每种思维模式都有自身的限制，需要学习者不断突破，海纳百川。 【解题的原则】 追求本质，自然为上，把题目当朋友。 综合数学能力的培养 1．过程训练：写过程以自然的反应思维为上，关键处要注明，详简看情况而定。要把写过程当作整理思维的方法，尝试用最朴素最有启发性的语言来叙述。写过程之前先要逐步推敲每一步思维，直到自己觉得每一步都非如此不可。同一题的过程可写多遍，如此训练，对思维大有好处。 2．计算训练：计算能力和心态有很大关系，需要心平气和，把握节奏。不要把计算当做一件很枯燥的工作，要观察发现计算结果的对称性。有时题目的内在规律就隐藏在其中。计算就像跑步，虽不像打球那样有趣，但欣赏周围的风景，感觉到自己的呼吸，也会觉得欣喜。 3．心态训练：心态本说有就有、说无就无，考场上的心态大体是长时间人生状态的反映，所以平时就要快乐起来。心中有了问题就要认真思考进行回答，但不可以把自己囚禁在那一种状态之中。人对世界的理解是归纳的过程，其中常有错误，许多问题本来是不存在的，甚至许多概念也都是归纳中的错误。当人沉浸在一种状态之中的时候，往往会戴上有色眼镜，看不到世界的丰富多彩，但只要一走出来立刻会发现曾经的想法是多么荒唐。要多接触各方面的思想，特别是文学和哲学著作，完善自己的人格，要做题，先作人。做题的最好状态是自由联想，自然而然，在考场上要把最灵活的思维调出来。在遇到难题没有思路时，下面的方法也许有用：列出已有的所有想法并回顾每种想法，如果有一点新思维的火花就马上抓住，进行下去。 |
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