精品回顾 | 与圆有关的知识梳理【适用初三】

初三学子面临最后的挑战，每天的学习，都将有条不紊的开展！每位小朋友都应把基础打扎实，在夯实基础的前提下，稳扎稳打，攻克各个难度的知识内容。翻开上海教育出版社出版的初中教材，从预初到初三的8本教科书，以教科书为载体，把常考知识点整理，定能助己一臂之力！下面对初三下与圆有关的知识点做个梳理，对自学的小朋友会有一个引导作用！

圆的有关性质

圆的定义

（1）圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有的点的集合；【轨迹】

（2）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

（3）圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

圆的确定性

 不在同一直线上的三个点确定一个圆；

『易错点』“平面内的三点可以确定一个圆”的说法是错误的；应注明：“不再同一直线上”.

圆的周长和面积，弧长与扇形面积

圆的对称性

（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

（2）圆的中心对称性： 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

（3）圆的旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原图形重合；

易错点：

『易错点』

圆的对称轴是过圆心的每一条直线，不是直径，因为直径是一条线段；圆的对称轴有无数条.

与圆有关的概念

（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示

读作“圆弧AB”或“弧AB”；

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；

小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦或两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。

易错点：

『易错点』

1、“在同圆或等圆中，弦相等，所对的弧相等”，这句话是错的。错因：弧分为劣弧或优弧。

2、审题时，要强调“同圆或等圆”中这一句。

垂径定理及其推论

垂径定理：

如果圆的一条直径垂直与一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条线所对的弧.

推论：

（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.

（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.

（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.

（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦.

（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦.

可概括为：

易错点：

『易错点』

①对垂径定理理解不够透彻：“垂直与弦的直线平分这条弦”是错的，因为垂直与弦的直线有无数条，并不是每一条都平分这条弦；正确的说法是“垂直于弦的直径平分这条弦”.

②对于垂径定理推论中的“弦”理解不透彻：由于直径也是弦，而一个圆中任意两条直径都是互相平分的，例如：“平分弦的直径垂直与这条弦”这句话是错的，正确的说法是“平分弦（这条弦不是直径）的直径垂直与这条弦”；再例如：“经过圆心，平分弦的直线不一定平分弦所对的弧”.

过三点的圆

1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、三角形的内心：三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，圆叫做三角形的内切圆。

与圆有关的位置关系

点与圆的关系

设⊙O的半径是r，点到圆心O的距离为d，则有：

直线与圆的位置关系

圆与圆的位置关系

【上图中的勘误：第一个图：两圆外离，不是相离！！！！！！！！！】

根据圆和圆的位置关系，观测得到两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系：

易错点：

『易错点』

相离：外离与内含统称为相离；

相切：内切与外切统称为相切；

1、若遇到有关圆和圆的位置关系的问题时，要考虑全面，注意分类求解；若圆与圆相切，要分外切与内切；若圆与圆相离，要分为内含与外离；若圆与圆内切，则要分d=r1-r2或d=r2-r1.

2、同时，当条件叙述为两圆有一个公共点（外切与内切），没有公共点（外离与内含）时，亦要注意分类讨论。

利用数轴来理解两圆的位置关系

笔者反思：

对“两圆位置关系”这一知识进行研读，笔者认为，用“数轴”去理解“两圆位置关系”，再合适不过！

关于两圆的性质定理

（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；

（2）相切两圆的连心线经过切点；

正多边形的概念及其性质

正多边形的定义：一般的，各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形.

多边形的内角和定理：

概念及性质

 1、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

5、正多边形的轴对称性

①正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

②正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

正多边形的有关计算

方法规律总结

圆的常用辅助线【考纲】

1、添半径构等腰三角形；

2、遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：

①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

分类讨论思想

圆，是分类讨论思想方法渗透的主要阵地之一！

分类讨论思想是每年中考必考的数学思想方法，分布于填空题，简答题及压轴题。所以特别在最后复习段段中，要强化基础知识的分类整理，熟悉初中数学的知识网络，对数学的基本分类讨论思想方法能够运用自如.

圆的拓展知识

专研、读一下《九年级数学拓展2》上海教育出版社

 

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