导数解题思想浅析

导数解题思想浅析

陕西省山阳中学李书敏

一、学生存在的问题：

1、切线问题，没有设切点的意识，带入解析式不全面还纠缠不清。

2、求导后不变形，导致难以判断导数的正负，或者不会判断导数的正负，产生思维中断现象。

3、忽略定义域，导致失分。

4、不能发现参数引起的分歧，不会对参数引起的分歧进行讨论。

5、没有进行逆向思维的习惯，或者逆向思维经验不足，无法破解题意。

二、导数的基本问题

1.题型：

1).切线问题。

2).单调性，极值，值域，最值问题。

3).函数零点(方程的根)的个数和分布问题。

4).不等式恒成立、存在性、不等式证明问题。

5).与数列、不等式、解析几何的综合问题。

2.常规步骤：

1）求导数并变形，写出定义域。

变形的方法：

①.整式：因式分解或配方。

②.分式：通分母，并因式分解。

③.指数式：提取公因式。

④根式：分子有理化

2）解方程 , 判断导数的正负

判断导数正负的方法：

①.检验法。②.图像法。③.单调性法。④.求导数的导数。

3）列表由导函数的正负确认原函数的单调性和极值、最值

4）画函数草图解决问题。

三、难点分布及突破难点的方法

1．难点分布：

1).无切点的切线问题；

2).含参讨论，分段讨论；

3).不等式证明、恒成立、存在性问题；

4).与数列、不等式、解析几何的综合问题。

2.突破难点的方法：

1）切线问题，函数y=f(x)：

①设切点为(x₀,y₀)

②求导， y'=f'(x),

③三代入：

 

2）.参数影响到导数的正负，就根据分歧分类讨论，绝对值函数变为分段函数，分两部分讨论研究。

一般的分歧有：

①参数对整体正负的影响。

②参数对有根无根、根的大小的影响，不能自认为有根。

③参数对根在区间内外的影响，不能自认为根在区间内。

3）.构造函数解决不等式证明、恒成立和存在性问题。

有两种构造函数的方法：

①主变量法，在那个变量的区间上恒成立，就以这个变量为主变量构造函数。

②分离法，把两个变量分离到不等式两边，构造函数。

③构造左右两个函数，比较们它的最值。

 ④放缩法，对于含以自然常数为底的指数函数和对数函数的不等式，利用它们的切线（一次函数）进行放缩证明

构造函数的方向，函数越熟悉越好,能判断导数的正负即可。

4）.采用逆向思维和联想的方法解决导数与数列、不等式、解析几何的综合问题。

四、例证

1、切线问题