精品回顾 | 黄浦区两年数学一模填空18题的比较研究

例题1

分析：

本题的图形跃入眼帘的第一感觉，有“一线两角”的基本结构；有梯形背景，有直角三角形背景；三角比条件与相似三角形的互相转化也可能成为一个思维辅助。

方法1

构造方案：

1、以“一线两等角”构造“一线三等角”的相似结构，本法构造EF=EC，继而证明△ADE∽△EFB；或利用等角的三角比相等来转化边长！！

2、如上图，可设EC=EF=2，BC=5，BE=根号21，AE就很容易求出了。

方法2

方法3

方法1，2，3构造方法如出一辙，是构造基础图形“一线三等角”。

方法4

方法5

这两个构造方法，基于对主背景“梯形”的理解，以梯形两个基本辅助线方法：

1、添平行四边形；

2、外延构造八字形；这两个方法也是不错的想法！

3、期中方法4是“八字形 共边共角相似 共边共角相似比『公共角的对边之比』”的组合运用，当然，方法4往下延长亦是可以的。

方法6

方法7

方法6与7，利用角平分线定理或正弦定理，也有眼前一亮的感觉。

例题2

分析

类似上题，本题的图形跃入眼帘的第一感觉，有“一线两角”的基本结构；有梯形背景，有等腰直角三角形背景；而角∠EDC=90度，给了一个下述方法5的构造线索！

1

方法

2

方法

3

方法

4

方法

5

方法

方法5点评：小草认为最漂亮的一个做法！以初一全等三角形为背景构造“直角形三等角结构”『亦可认为是三垂直结构』

6

方法补充

方法6点评：这个方法，作为一个三角比的拓展方法，亦可尝试。

笔者反思：

在相似三角形的判定中，两组对应角分别相等，则两个三角形相似这种判定方法应用特别多。而“一线三等角”这种特殊图形中，正是因为存在有两组对应角分别相等才会一定出现一对相似三角形。在不同背景中，特别是“一线三直角”这种情况在矩形、直角梯形、以及平面直角坐标系中的应用都比较广泛。所以把握住基本图形对于学生在复杂的图形中迅速准确的解决问题起到了关键的作用。

对与“一线三等角”这种特殊图形，有一类特殊“图形变式”，即“一线二等角”！

从“三等角”到“两等角”的转变，反之，从“两等角结构”构造为“三等角结构”亦是需要掌握的一个重要构造途径！

 

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