高中数学不等式知识点总结

选修4--5知识点

1、不等式的基本性质

①（对称性）

②（传递性）

③（可加性）

（同向可加性）

（异向可减性）

④（可积性）

⑤（同向正数可乘性）

（异向正数可除性）

⑥（平方法则）

⑦（开方法则）

⑧（倒数法则）

2、几个重要不等式

①,（当且仅当时取号）. 变形公式：

②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.

变形公式：

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.

④

（当且仅当时取到等号）.

⑤

（当且仅当时取到等号）.

⑥（当仅当a=b时取等号）

（当仅当a=b时取等号）

⑦，（其中

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧

⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式

①平均不等式：，，当且仅当时取号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

②幂平均不等式：

③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式：

当且仅当时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：

设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有

则称f(x)为凸（或凹）函数.

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如

②将分子或分母放大（缩小），

如

等.

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式

解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

（时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.

9、指数不等式的解法：

⑴当时,

⑵当时,

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

⑴当时,

⑵当时,

规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：

⑴定义法：

⑵平方法：

⑶同解变形法，其同解定理有：

①

②

③

④

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不等式的解法

解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：

⑴讨论与0的大小；

⑵讨论与0的大小；

⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当时

②当时

⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当时

②当时

⑶恒成立

恒成立

⑷恒成立

恒成立

15、线性规划问题

常见的目标函数的类型：

①“截距”型：

②“斜率”型：或

③“距离”型：或

或

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.