每日一题[287] 透视引理

2010年北京市西城区一模理科数学第8题（选择压轴题）：

如图，平面 与平面 垂直，直线 为两个平面的交线． 、 是平面 内不同的两点， 、 是平面 内不同的两点，且 ， 、 分别是线段 、 的中点，下列判断正确的是（        ）

A．当 时， 、 两点不可能重合

B． 、 两点可能重合，但此时直线 与直线 不可能相交

C．当 与 相交，直线 平行于 时，直线 可以与 相交

D．当 、 是异面直线时， 可能与 平行

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正确答案是 B．

在正式解决这个问题之前，我们先介绍立体几何中非常重要的透视引理（这是我自己的命名）：

三个平面两两相交，则三条交线或者互相平行，或者交于一点．

引理的证明是非常简单的，甚至不需要画图就可以直接证明：

设三个平面分别为 、 、 ，且 ， ， ．

由于直线 与直线 共面，于是 与 或者平行，或者相交，讨论如下．

情形一     时

此时

于是同在平面 内的直线 与直线 没有公共点，因此 ．根据平行公理，有

即三条交线互相平行．

情形二     时

此时

于是

即 ，从而

即三条交线交于一点．

综上，引理得证．

回到原问题，依次考虑四个选项．

选项 A，如图1，取与 平行的平面，与 和 分别相交，在两条交线上取一条线段 ，然后将这条线段绕其中点 旋转，那么在旋转过程中必然可以找到长度是起始长度 倍的位置，即线段 ．因此选项 A 错误．

图1  选项A的证伪

选项 B，由对选项 A 的分析可知， 、 可以重合，如图2，若 与 重合，那么 与 互相平分，因此 为平行四边形．对平行四边形所在平面与 、 应用引理即得

因此选项 B 正确．

图2  选项B的证明

选项 C，若 与 相交，那么它们构成一个平面，对该平面与 、 应用引理即得

因此选项 C 错误．

选项 D，如图3，当 与 平行时，将线段 沿向量 平移到 ，则根据对选项 B 的分析，有

又

于是在平面 内，过 的平行线 与 重合，于是 在平面 内，类似的， 也在平面 内，因此 与 共面．

图3  选项D的证伪

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注一    条件“平面 与平面 垂直”是多余的．

注二    事实上，立体几何作图时是否遵从透视引理直接影响立体感，如图．

不遵从透视引理会影响立体感

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