六年级奥数：同余问题

1

求1992×59除以7的余数。

应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）

所以1992×59除以7的余数是5。

2

已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？

一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。

2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。

因为366×2≡2×2≡4（mod 7），

365×7≡1×7≡0（mod 7），

366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）

 答：2010年的国庆节是星期五。

3

求2001的2003次方除以13的余数。

2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。

经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。

根据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）

因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）

12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1

12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）

所以2001的2003次方除以13的余数是12。

4

自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？

自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，换句话说就是16520≡14903≡14177（mod m）。根据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。

要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？

因为16520—14903=1617=3×7的平方×11

16520—14177=2343=3×11×71

     14903—14177=726=2×3×11的平方

M是这些差的公约数，m最大是3×11=33。

5

某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？

我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模8同余的数，9≡1（mod 8），但9除以7余数不是5，所以某数不是9。17≡1（mod 8），17除以7的余数也不是5。

25≡1（mod 8），25除以7的余数也不是5。

33≡1（mod 8），33除以7的余数正好是5，而且33除以6余数正好是3，所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列举法，也可以简化为下面的格式：

被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除余5的数有：33，89，……这些数中被6除余3的数最小是33。