同余（二）

导读

    上期我们谈到同余符号记法的优点:在形式上同余式具有普通等式的性质。对等式而言，若a=a', b=b' 则

      1. a+b=a'+b'.

      2. a-b=a'-b'.

      3. ab=a'b'.

利用同余关系a≡b（mod m）代替时，这些性质是否成立？

同余定义回顾     

定义   给定一个整数m（m>1）,  如果任意两个整数a, b被m除时所得的余数相同，那么我们就说a和b是模m同余的。记为a≡b（mod m）, 如果余数不相同，就说a和b对模m不同余，记为ab（mod m）.

对应三条性质

若a=a'（mod m）,  b=b'（mod m） 则

     1. a+b≡a'+b'（mod m）.

     2. a-b≡a'-b'（mod m）.

     3. ab=a'b'（mod m）.

证明关键点

根据a=a'（mod m）,  b=b'（mod m）

可知 a=a'+rm，b=b'+sm. 则

     a+b=a'+b'+（r+s）m,

     a-b=a'-b'+（r-s）m,

     ab=a'b'+(a's+rb'+rsm)m.

由此得证。

在学习整数时，我们通过构造数线（数轴的一部分）给整数一个几何解释，

当处理模m同余时，从同余的角度，可以把余数相同的数认为是相同的。如果给定m=4. 此时

因为余数只有4种情况，每列的数余数都是相同的，不妨我们把直线变成一个圆来表示，

钟表的表盘就类似于，给定m=12时对应的几何表示。

      之前很多的整除问题都可以利用同余来给出证明。例如下面的命题，下期我们给出证明。

命题  一个数能被11整除当且仅当这个整数的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差能被11整除

证明  下期给出      □