空间中的平行关系的判定及性质的应用

例1. 已知m，n是不相同的两条直线，是不重合的两个平面，把下列命题中正确命题的序号填在题后的横线上

（1）若；

（2）；

（3）；

（4）。

其中正确命题的序号是___________________________。

思路分析：利用空间中的平行、垂直的判定与性质定理，通过构造图形，结合图形中的线面位置关系进行判断。

解题过程：

（1）由线面平行的性质定理知（1）正确；

（2）或m，n异面，故（2）错；

（3），或构造如图所示的长方体知（3）正确；

（4）由面面平行的性质定理知（4）正确，故正确的命题有（1）（3）（4）。

解题后的思考：判断用集合语言描述的命题的正误时，首先要会将集合语言翻译成文字语言或图形语言，进而根据所给命题构造相关图形并运用判定与性质定理进行判断。

 

例2. 已知E、F、G、H分别是正方体的四条棱的中点。

（1）求证：相等。

（2）求证：

思路分析：（1）要证，只要证明即可，证明有以下方法：

①证明线线平行，注意E，G是中点的特征，在平面内找出与GE平行的直线.

②证明面面平行，即证GE所在的平面平行于平面。

③利用空间向量证明平面的法向量

（2）证明内有两条相交直线平行于平面即可。

解题过程：（1）证法（一）要证GE上的任意一点到平面的距离是定值，只要证明即可。

取BD的中点O，连接OE，，则

     

故GE上任意一点到平面的距离相等。

    证法（二）：取CD的中点N，连接NE，GN，易证，即可证明，即GE上任意一点到平面的距离相等。

    证法（三）：设正方体的棱长为2建立如图所示的空间直线坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，2，0），G（0，1，2），，平面的法向量

    

    故，即GE上任意一点到平面的距离相等。

（2）易证平面BDF，//平面BDF平面BDF//平面。

解题后的思考：证明线面平行、面面平行的关键是证明线线平行，要会根据已知条件通过作辅助线找到线线平行关系。

证明面面平行的方法有：①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则两平面平行；②垂直于同一直线的两平面平行；③用空间向量法，证明两个平面的法向量共线。

证明线面平行常用的方法有：（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）利用面面平行的性质定理证明；（3）利用空间向量法证明，即要证明直线l与平面平行，只要证明直线l的方向向量与平面的法向量垂直即可。