竞赛专题:内角比为4:2:1的三角形的一些性质 (作者:草根雾岩) 上题来自 2009-10 匈牙利数学奥林匹克 。2016 年普陀区初赛最后一题,2016 年上外直升考,都考过了类似的题目,它们都涉及内角比为 4:2:1 的三角形的诸多性质。 为什么这种三角形有这么多性质?首先,它能完美嵌入正七边形中(4+2+1=7),其三条边正好对应着正七边形的边和两条对角线,故可考虑使用托勒密定理。 其次,三个内角中有两组二倍角关系,二倍角可以构造相似,可以构造等腰三角形,这样的性质、添线方法都是经典的。 最后,记 θ=180°/7,则 180° = 7θ = 2θ+2θ+3θ = 3θ+3θ+θ,利用角度关系可以构造两种不同的等腰三角形,这也为图形分析增加了突破口。 综上,内角比为 4:2:1 的三角形性质多,解题方法更多,是赛题常考的类型。下面将 4-2-1 三角形的性质分两组进行介绍。 托勒密定理 证明方法: 二倍角和全等 4-2-1 三角形的三边有诸多性质,哪些性质的组合是独立的,或者说哪些命题的逆命题是真命题,个人觉得也值得思考,不过这已经超出本文讨论的范围了。 最后感谢湖北郭刚明老师、杭州姚进老师、兰生复旦朱斌老师、四川李老师等前辈在本文撰写过程中提供的无私帮助! 思考本文的过程中,自己瞎编乱造了一题,结论十分漂亮!原以为有十足把握是真命题,结果是道大错题(由朱斌老师及四川李老师指出)。我究竟哪里犯错了?中间经历了怎样的过程?题目为什么显得如此正确?请听我下回分解。 请注意:这是一道错题!
初中理科班数学由 12 教育初中组组长罗家亮老师(草根雾岩)创办,主要用于总结我校拓展课教学中的经验和教训。愿为初中数学教学尽绵薄之力,希望各位高手多多指点。 |
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