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简单的材料
火热的思考
——我的“三角形的面积”教学札记
案例描述：
课前给每位同学提供了一幅格子图，上面画有三种三角形（如图一，每格表示1平方厘米）。
片断一：
师：大家还记得怎样计算平行四边形的面积吗？
生：平行四边形的面积=底×高
师：回忆一下，我们是怎么得出这个计算公式的？
生：沿着平行四边形的一条高把它剪成两部分，再把其中的一部分平移到右边去，就补成了长方形，因为长方形的长相当于底，宽相当于高，就得出了平行四边形的面积=底×高。
师请一生在黑板上画出“平行四边形割补成长方形”的示意图。
师：这就是“转化”的方法，把新知识转化成旧知识来解决。转化方法在数学上应用很广泛，今天我们就用这种方法来研究“计算三角形的面积”。（板书课题）
思考：奥苏泊尔说：“所有新知的学习都是建立在其已有知识经验之上的。”通过复习平行四边形的面积计算公式的推导过程，唤起学生“转化图形、建立联系、推导公式”的学习经验，为后续三角形面积的研究确定了方向，并做好了知识经验和学习方法等方面的准备。
片断二：
师：请大家独立思考，研究怎样计算出图一方格图中的三角形的面积？可以只选择其中一个来研究，也可以三个三角形都来研究。
学生独立思考，师巡视指导，然后借助实物投影仪进行全班交流。
生1：我研究的是直角三角形，用的是“割补”的方法，把三角形上的一个小三角形剪下来补到右边去，得到一个长方形（如图二），长4厘米、宽3厘米，面积就是4×3=12（平方厘米）
生2：我也是割补的方法，但和他的不一样（如图三）我是把右边这个小三角形剪掉补到上面来，补成一个长方形，6×2=12（平方厘米）
师：比较这两种割补的方法，它们有共同之处吗？
生：它们都是把三角形转化成了长方形。
师：你发现它们“割”的点有讲究吗？是随便找两个点“分割”后就能“补”成长方形吗？
生：哦，我发现了！他们“分割”的点都是边的中心点，这样补过去才能补成长方形。（其他同学也有了类似的发现）
师：大家看得真仔细！“割补”时，一定先找到两条边的中点，再沿着两个中点的连线开始“分割”，才能补成长方形。对于直角三角形，还有别的方法吗？
生3：我是又“复制”了一个三角形，它俩正好拼成了一个长方形（如图4），长方形的面积是6×4=24（平方厘米），因为这是两个三角形拼成的，所以求一个三角形的面积就要÷2，就是12平方厘米。
师：听懂生3的方法了吗？谁能再解释一下这种方法？
生：他是用两个三角形拼成了一个长方形，算出长方形的面积，再除以2就是一个三角形的面积。
师：是用任意的两个三角形吗？
生：不是的，这两个三角形必须是完全一样的，要不然就拼不成长方形。
师：用“割补”或者“补拼”的方法都能求出直角三角形的面积，那么，另外两种三角形的面积可不可以这样来求呢？
生4：我研究了锐角三角形，用的也是“割补”的方法。先把它的两个小角都剪下来，再补到上面去，也能补成长方形（如图5）。4×3=12（平方厘米）
生5：我是用“拼补”的方法（如图6），在左边补一个三角形，在右边也补一个三角形，补成了一个长方形。长方形的面积是6×4=24（平方厘米），因为三角形面积是长方形的一半，所以需要再除以2，三角形的面积就是12平方厘米。
生6：我也是又“复制”了一个完全一样的锐角三角形，它们正好拼成了一个平行四边形（如图7），平行四边形的面积是6×4=24（平方厘米），所以一个三角形的面积就是24÷2=12（平方厘米）
师：看来，不论是用“割补”还是“拼补”的方法，都能把锐角三角形转化成学过的图形，然后就可以求出面积了。那么，对于钝角三角形可以这样做吗？
生7：可以，我就是用“拼补”的方法求出它的面积的。先“复制”一个完全一样的钝角三角形，它们拼成了一个平行四边形（如图8），平行四边形的面积是6×4=24（平方厘米），所以一个三角形的面积就是24÷2=12（平方厘米）
师：对于任意三角形的面积都能用类似的方法来求面积吗？请试着在练习本上画一画。（学生独立思考，尝试画图）
生：能，只要是两个完全一样的三角形就可以拼成平行四边形或者长方形。
师：通过刚才的研究，现在谁来总结一下三角形面积的计算方法？
生：底×高÷2
师：这里的“底×高”算出的是什么？
生：是用两个三角形拼成的平行四边形的面积。
师：所以求一个三角形的面积，还要——
生：÷2
……
思考：
教学“三角形的面积计算”，从教材的编写意图和一般的教法来看，“把两个完全一样的三角形‘补拼’成平行四边形或长方形”的方法都是教学的重点。但是，对于学生来说，他们已有的认知经验是什么呢？不难发现，由于学生刚刚学习了平行四边形的面积计算，对平行四边形的“割补法”印象是很深的，在没有任何暗示的情况下放开让学生思考，相当一部分学生想到的会是怎样去“割补”这个三角形，把它转化成已学过的图形。
因此，在上述教学中，并没有强行将学生的思维局限于“补拼”法，而是从学生的实际出发，放手让学生自主探究“三角形面积的计算方法”，并为学生提供了充分的质疑、讨论、思考、表达的机会，激发学生去积极地思考、尝试，去讨论交流。课堂上，没有繁复的教学环节，只有简约的学习材料；没有教师的精美课件演示，只有学生借助实物投影仪进行的原生态思维成果展示；也没有过多的“暗示”与讲解，只有在学生讲解交流时教师的适时追问与质疑。同学们思维活跃，表现积极，都在争先恐后地展示、讲解自己的发现，踊跃评价、补充同学的发言，所表现出的“火热的思考”令人赞叹！
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