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题目： 如下图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为顶点的抛物线经过点A。点P是抛物线上点A与点C之间的一个动点（含端点），过P作PF⊥BC于点F。点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE。 1、请直接写出抛物线的解析式； 2、小明探究点P的位置发现：当点P与A或C重合时，PD与PF的差为定值。进而猜想：对于任意点P，PD与PF的差为定值。请判断此猜想是否正确，并说明理由； 3、小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小时的点P也是一个“好点”。请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时的“好点”的坐标。 分析： 1、题目要求直接写出，即无需提供推导过程（抄袭和评卷都方便了...玩笑）。 ①抛物线的解析式包含三个未知数：系数a，b，c。我们已经知道抛物线上三个点的坐标：A，C以及A关于y轴的对称点（因为C是抛物线的顶点），可以直接代入进行计算，易得a，b，c的值。 ②也可以利用抛物线解析式的另一种形式y=a（x b/2a）^2 （4ac-b^2）/（4a）进行推导。 ③还可以利用y=a（x-x1）（x-x2）进行推导，其中x1，x2代表抛物线与x轴交点的横坐标。显然，x1=-8，x2=8。 2、浅尝可知，与天津卷、重庆卷不同，几何图形的性质对本题的解析无太明显的帮助。此处需要利用P、F、D的坐标推导出PF和PD的代数表达式。其中，F的横坐标与P相同，纵坐标为定值；D的坐标为定值；因为P在抛物线上，P的纵坐标可以用横坐标表达。这样，PD、PF都可以用P的横坐标表达。 3、题目3有两个问题，一个是要求写出“好点”的个数，另一个是找到“△PDE周长最小”时“好点”的坐标。 ①“好点”的定义完全依托于△PDE的面积。虽然题目要求直接写出，但实际上没有那么显而易见，需要找到△PDE的面积表达式。记S为△PDE的面积， ②可以利用三角形面积公式进行推导：海伦公式，S=√（p（p-a）（p-b）（p-c）），其中p为三角形周长一半，a、b、c为三角形三边长。目测，根号下有可能出现P的横坐标的8次幂，演算较为复杂； ③可以利用简单的几何图形关系，通过其他图形的面积替代表达：连接A、P，注意到正方形OABC由5个图形组成：△PDE、△PEA、△EDO、梯形PABF和梯形PFCD。所以△PDE的面积=正方形OABC的面积－△PEA的面积－△EDO的面积－梯形PABF的面积－梯形PFCD的面积。注意到， 正方形OABC的面积=AB×AO=64； △PEA的面积=AE×h/2=16-（x^2）/4，其中h=8-（x^2）/8，即P点纵坐标绝对值； △EDO的面积=EO×DO/2=12； 梯形PABF的面积=（AB PF）×BF/2=（x^3）/16 （x^2）/2 4x 32； 梯形PFCD的面积=（PF CD）×FC/2=-（x^3）/16-x。 所以，S=13-（x/2 3）^2。不难发现， 当-8≤x≤0时，S在x=-6取得最大值13，在x=0取得最小值4； 由上易知，S的整数值有10个（4，5，6，...，11，12，13）。 此处，尤其注意抛物线的对称性质，以免漏掉“好点”的个数。x=-8时，S=12，所以仅当S=12时对应2个“好点”（S＜12时，x在对称轴左侧已经偏离取值范围），S的其他整数值仅对应1个“好点”。即，共有11个好点。 当EF⊥BC时，P、E、F处于同一直线，此时EF=PE PF； 当EF⊥BC时，EF=AB。 所以，当EF⊥BC时，L取最小值=AB l PF。但是，如果在题目2的解题过程中发现l不是定值，那么将必须通过复杂演算进行解题。
1、y=-(x^2)/8 8 2、记P的坐标为（x，y），则y=-(x^2)/8 8。于是 PD=√（x^2 （6-(x^2)/8-8）^2）=(x^2)/8 2； PF=8-（-(x^2)/8 8）=(x^2)/8； PD-PF=2，与P点位置无关。题干猜测为真。 3、好点个数共有11个。记L=△PDE的周长，S=△PDE的面积，连接EF。 L=PD PE DE，注意到PD=PF 2，DE=√52，所以L=PF PE 2 √52。根据三角形三边长性质，PD PF≥EF，而EF≥AB=8，所以L≥EF 2 √52≥10 √52，即L的最小值≥10 √52。 当EF⊥BC时，E、F、P三点位于同一条直线，所以PF PE=EF，且此时EF=AB，所以此时L取最小值10 √52，P点坐标（-4，6）。而S=13-（x/2 3）^2，故此时S=12，所以P为“好点”。 回顾：
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④记L=△PDE的周长，我们可以将其表达为P的横坐标的表达式。但是，PD和PE的表达式均有根号，且根号下有可能出现4次幂，较为复杂。注意到题目2种猜测PD与PF之差为定值，如果猜测为真，不妨记PD=PF l，其中l为定值。那么L=PD PE DE=PF PE （l DE），括号内为定值。如下图，连接F、E，显然PE PF≥EF≥AB，也就是说L的最小值≥AB l DE，这是一个定值。问题在于，何时能取等号？
解题：
