2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）（解析版）

2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（ ）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，3）

【考点】交集及其运算．

【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出两集合，求出A与B的交集即可．

【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|}=（﹣1，2），

则A∩B=（﹣1，2），

故选：B．

2．的虚部为（ ）

A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．

【解答】解： ==1+2i，

故虚部是2，

故选：A．

3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（ ）

A．2 B． C．2 D．4

【考点】向量的模．

【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．

【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．

故选：B．

4．下列函数中与f（x）=2^x+2^﹣x具有相同的奇偶性的是（ ）

A．y=sinx B．y=x²+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|

【考点】函数奇偶性的判断．

【分析】利用定义判断f（x）和选项中函数的奇偶性，得出结论．

【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2^﹣x+2^x=f（x），

∴f（x）是偶函数．

对于A，y=sinx是奇函数，

对于B，y=x²+x+1的对称轴为x=﹣，∴y=x²+x+1非奇非偶函数，

对于C，|﹣x|=|x|，∴y=|x|是偶函数，

对于D，y=|lgx|的定义域为（0，+∞），故y=|lgx|为非奇非偶函数．

故选：C．

5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（ ）

A．10 B．16 C．20 D．24

【考点】计数原理的应用．

【分析】有9个座位，现有3个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解

【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，

∵要求入座的每人左右均有空位，

∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可

∴不同的坐法种数为A₅²=20，

故选：C．

6．执行如图的程序框图，则输出的S=（ ）

A．21 B．34 C．55 D．89

【考点】程序框图．

【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．

【解答】解：模拟执行程序，可得

S=1，Q=1，i=3

满足条件i≤10，F=2，Q=1，S=2，i=4

满足条件i≤10，F=3，Q=2，S=3，i=5

满足条件i≤10，F=5，Q=3，S=5，i=6

满足条件i≤10，F=8，Q=5，S=8，i=7

满足条件i≤10，F=13，Q=8，S=13，i=8

满足条件i≤10，F=21，Q=13，S=21，i=9

满足条件i≤10，F=34，Q=21，S=34，i=10

满足条件i≤10，F=55，Q=34，S=55，i=11

不满足条件i≤10，退出循环，输出S的值为55．

故选：C．

7．已知，则cos2α=（ ）

A．1 B．﹣1 C． D．0

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由所给等式得到|sinα|=|cosα|=，由二倍角公式得到结果．

【解答】解：∵，

∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，

∴cosα=﹣sinα，

∴|sinα|=|cosα|=，

则cos2α=2cos²α﹣1=0，

故选：D

8．如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A₁B₁A的左视图可能为（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单空间图形的三视图．

【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．

【解答】解：在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，三棱锥P﹣A₁B₁A的左视图中，B₁、A₁、A的射影分别是C₁、D₁、D．

故选D．

9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（ ）

A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得φ值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得．

【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ）]=sin（2x+φ﹣）的图象，

∵图象关于y轴对称，∴由诱导公式和偶函数可得φ﹣=kπ+，解得φ=kπ+，k∈Z，

由|φ|＜可得当k=﹣1时φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），

由x∈[0，]可得2x﹣∈[﹣，]，

∴当2x﹣=﹣即x=0时，函数f（x）在[0，]上取最小值sin（﹣）=﹣，

故选：D．

10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）

A． B． C． D．2

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．

【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，

可得F到渐近线的距离为=b，

即有圆F的半径为b，

令x=c，可得y=±b=±，

由题意可得=b，

即a=b，c==a，

即离心率e==，

故选C．

11．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（ ）

A． B．1 C． D．

【考点】棱锥的结构特征．

【分析】设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a²=h（2﹣h），四棱锥P﹣ABCD的体积V=×4a²h=h²（2﹣h），变形利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a²=h（2﹣h），

四棱锥P﹣ABCD的体积V=×4a²h=h²（2﹣h）=≤=，

当且仅当h=4﹣2h，即h=时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，

故选：．

12．已知f（x）=，g（x）=﹣x²﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个命题：

①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；

③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．

其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】分别求出f（x），g（x）的单调性与值域，利用函数的单调性得出复合函数的单调性，即可得出零点个数．

【解答】解：f（x）在[﹣4，﹣1]上是增函数，在（﹣1，1]上是减函数，在[1，4]是增函数，

且f（﹣4）=﹣4，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（4）=4．

∴f（x）在区间（﹣4，﹣1），（﹣1，1），（1，4）上各有1个零点，且f（x）的值域为[﹣4，4]．

设f（x）的三个零点分别为x₁，x₂，x₃，∵f（﹣3）=log₂2﹣＜0，f（﹣2）=log₂3﹣＞0，

∴﹣3＜x₁＜﹣2，令2|x﹣1|﹣2=0得x₂=0，x₃=1．

作出f（x）的大致函数图象如图所示：

做出y=g（x）的函数图象如图所示：

显然g（x）在[﹣4，4]上为减函数，且g（x）的值域为[﹣4，4]．

令g（x）=0得x=4﹣4，故g（x）的零点为4﹣4．

（1）设f[f（x）]=0，则f（x）=x₁，或f（x）=0，或f（x）=2．

∵﹣3＜x₁＜﹣2，

由y=f（x）的函数图象可知f（x）=x₁只有一解，f（x）=0有三解，f（x）=2有两解，

∴f[f（x）]有六个零点，故③正确．

（2）设f[g（x）]=0则g（x）=x₁或g（x）=0或g（x）=2，

显然以上方程各有一解，∴f[g（x）]由三个零点，故①正确．

（3）设g[f（x）]=0，则f（x）=4﹣4，

∵0，由f（x）的函数图象可知f（x）=4﹣4有三个解，

∴g[f（x）]有三个零点，故②正确．

（4）设g[g（x）]=0，则g（x）=4﹣4，

由g（x）的函数图象可知g（x）=4有一解，

∴g[g（x）]有一个零点，故④正确．

故选：D．