奇妙的切割

文/彭翕成(责编：Chinalove8)

在美国著名科普作家马丁·加德纳的名著《啊哈！灵机一动》中记载了一个有趣的故事《奇妙的切割》。

故事的主人公兰莎是个测量员，他善于把各种形状的木头分割成若干形状相同的小块。一次，有人请他把一块木头分割成形状相同的四块（图1），兰莎对这块木头这样分割（图2）。又有一次，有人请他把一块土地划分为形状相同的四部分（图3）。这可不是件容易的事情。但是，经过一番苦思冥想，他终于解决了问题（图4）。把一块正方形的木头分成四块相同的小正方形，这对于兰莎来说自然不成问题（图5），但是要把它分成同样形状的五块，兰莎有些犯难了。“这如何是好!”兰莎暗想，“一定能找出一种办法来，噢，有了!”

你知道兰莎想到怎样分割了吗?像图6所示的方法可以把一个正方形分成任意等份。

前两个问题都不是规则图形，解答有一定难度。而最后一问，解答方法如此浅显却难以想到，令人惊讶、令人遗憾。正如古语有云：智者千虑必有一失。当然兰莎最终还是弥补了这“一失”。

故事虽然结束了，但留给我们很多的思考空间。

思考1：可缩图形的充分挖掘

前两个问题，分割后的小块与分割前的大块形状相似。如果一个图形能分成若干彼此全等而又与原图形相似的小图形，那么我们可以把这一类图形取个名字叫做“可缩图形”。显然，若干小的可缩图形可以拼成同形状的大的可缩图形。假设某种可缩图形能够取之无尽，用之不竭，可以推想它们拼成的同形状的大的可缩图形可以逐步铺满整个平面。譬如兰莎解决的第一个问题L形可缩图形，四个同样的小L形可以拼成一个大L形，然后四个同样的大L形可以拼成一个更大的L形。这样无止境地拼下去，结果当然会拼成一个无尽头的平面。反之，一个大L形分成四个小L形，一个小L形再分成四个更小的L形。这样无止境地分下去，图形会越来越小，直至无穷小。

无穷小，中学数学教学涉及的并不多。在无穷等比递缩数列公式中算是出现了一次。

同样是1/4，有不同的分割方式，展示不同的美。

更多案例参看《面积关系帮你解题》（第三版，张景中，彭翕成著）。与之前版本相比，多了100多页的篇幅，增加了很多有趣好玩的案例。

【注】来自微信公众号:彭翕成讲数学(penxichengmath)

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