微专题在第50期《坐标系中不规则图形的面积》中，详细介绍了用割补法求不规则图形面积的方法。当不规则图形遇上二次函数，静态图形变成动态图形时，割补法依然是我们求不规则图形面积的通性通法。在第8期《抛物线与图形面积》中，介绍了抛物线中三角形面积的几种处理方法。结合第50期的探索，今天我们介绍抛物线中三角形（顶点都在抛物线上）面积的一般求法。可见（1）（2）只要求出A,B,C的坐标，代入点的坐标，直接可以利用坐标求解。其基本思路是将任意三角形转化为边在坐标轴上或者与坐标轴平行的三角形，然后类比上述（1）（2）的办法进行解决。此时，需要用到第50期讲的割补法（具体割补法见如图辅助线）。过点C作X轴的垂线交AB于点D,则△ABC被分成了两个以CD为一边的三角形，过A作AE⊥直线CD于E,过B作BF⊥CD于F,则
对于(1)的情形,过C作直线垂直x轴交x轴于点D,yD=0.a 为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽；此公式适用于坐标系中的任意三角形，它也和三角形原有的面积公式形成了完美的一致。其实，三角形原有的面积公式就是这个公式的特殊情形，二者是一般和特殊的关系。这样，我们便推导出了三角形面积的万能公式。当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能一样，如图例 如图，二次函数y=1/3x2-4/3x-4与x轴交于点C，与y轴交于点A，B为抛物线直线AC下方抛物线上一点，求△ABC面积的最大值。 所以，当点 B（3，-5）时，ΔABC的最大面积为9。（说明：此时求ΔABC的最大面积，除了这种方法外，也可以过点B作直线与AC平行，当直线与抛物线相切时，ΔABC取到最大面积。）后记：题中的三角形ABC满足公式中的A,C,为定点,B为一动点，但在运动过程中，B的横坐标介于A,C的横坐标之间，所以直接套用公式即得。由此题可看出，在这种动点的题目中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅锤高是由动点向x轴做垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度。如图，二次函数y=1/3x2-4/3x-4与x轴交于点C，与y轴交于点A，直线AB与x轴平行，且点B在抛物线上，点P是直线AC上方抛物线上的动点，是否存在点P，使S△PAC=2S△ABC,若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。 解析:由题意不难得出S△ABC=8，要使S△PAC=2S△ABC，即求S△PAC=16。S△PAC=1/2ah,其中a为水平宽，a=xC-xA=6，h为铅锤高，应该过动点P向x轴作垂线，交直线AC于点D，问题是此时动点P不在两定点A、C之间，而是运动到了两定点A、C之外，那么万能公式还成立吗？由此可证，当动点运动到两定点之外时，万能公式依然成立！区别是：动点在两定点之间时，动点图形的面积是两个规则图形的和，用的是加法运算；动点在两定点之外时，动点图形的面积是两个规则图形的差，用的是减法运算。如图，关于x的二次函数y=-x2 bx c经过点A(-3,0)，点C(0,3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上。（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，若存在求出点（3）DE的左侧抛物线上是否存在点P，使2S△FBC=3S△EBC，若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由。 本次专题的主要研究路线是：先由割补法求出不规则三角形（没有边在坐标轴上或与坐标轴平行）的面积，进而推导出三角形面积的万能公式。接下来研究抛物线中动点三角形的面积最值问题，以静代动，用含x的代数式表示出相关线段的长度，利用万能公式表示出动点三角形的面积表达式，再求最值。特别指出：割补法依然是求解不规则图形面积的通性通法，万能公式是在这个方法的基础上总结出的三角形面积的一般公式。
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