模型研究 | 面积系列之铅垂法

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．

问题描述

在平面直角坐标系中，已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7)，求△ABC的面积．

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：

构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．这是在“补”，

同样可以采用“割”：

此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．

由题意得：AE+BF=6．

下求CD：

根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：

由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，

将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，

故D点坐标为（4,2），CD=5,

综上，S=0.5×6×5=15．

铅垂法

方法总结

作以下定义：

（1）水平宽：A、B两点之间的水平距离；

（2）铅垂高：过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．

如图可得：

【解题步骤】

（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；

（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；

（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

（4）根据C、D坐标求得铅垂高；

（5）利用公式求得三角形面积．

真题演练

2019海南中考（删减）

如图，已知抛物线y=ax²+bx+5经过A(-5,0)、B(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为C．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值．

【分析】

（1）y=x²+6x+5；

（2）取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．

根据A、C两点坐标得AC=4，

根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，

设P点坐标为（m，m²+6m+5），

则点Q（m，m+1），

得PQ=-m²-5m-4，

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．

【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．

【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？

铅垂法大全

铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：

（1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．

（2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高，

（3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．

甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．

（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．

（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．

（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．

说这么多做法也不是要记住的，基本上从(3)开始往后都是用不上的，

那为啥还要看这些？

看都看了，又何必再问为什么了……

真题演练

2019绵阳中考（删减）

在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax²（a>0）的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点E在一次函数的图像下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．

 

【分析】

（1）抛物线解析式：y=0.5x²-x-1.5；

       一次函数解析式：y=0.5x+0.5．

（2）显然，当△ACE面积最大时，

点E并不在AC之间．

已知A（-1,0）、C（0,0.5），

设点E坐标为（m，0.5m²-m-1.5），

过点E作EF⊥x轴交直线AD于F点，

则F点横坐标为m，

代入一次函数解析式得F（m，0.5m+0.5），

可得：EF=-0.5m²+1.5m+2．

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．

记点什么

既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，

对坐标系中已知三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，

按铅垂法思路，可得：

如果为了好看，也可以这么写：

好像也并不是很好看~

如果做题不怕被扣过程分的话，比如我就不怕，因为我不考试，那就不妨，直接用~

来源：有一点数学（ID：gh_41d61a2081f7）