数海拾贝

光子问答精选[16]同角三角函数关系式的妙用

2016年10月13日 锋行天下 数海拾贝

同角三角函数关系式sin2α+cos2α=1是三角函数中的重要公式，在处理三角函数问题时，有着至关重要的作用．在解题中，我们可以直接应用该公式，同样地，我们也可以对其进行变形后再加以应用，下面给出一道例题．

---

例　求证：cosα1+sinα?sinα1+cosα=2(cosα?sinα)1+sinα+cosα．
——提问者：苦行僧 2016-08-13 09:48

解　（解答者：陆将未来）
根据同角关系式sin2α+cos2α=1，得{cosα1+sinα=1?sinαcosα,sinα1+cosα=1?cosαsinα,根据合比性质，上式可变形为{cosα1+sinα=cosα+1?sinα1+sinα+cosα,??(1)sinα1+cosα=sinα+1?cosα1+cosα+sinα,??(2)(1)?(2)得cosα1+sinα?sinα1+cosα=2(cosα?sinα)1+sinα+cosα.因此，原命题成立． 

注　本题若直接对左边进行通分求解，则会面临巨大的计算量，本题作者通过对同角三角函数关系式的变形，再结合合比性质，直接沟通了题中代数式的分母，实在是巧妙至极啊！

总结　公式sinα1+cosα=1?cosαsinα=1?cosα+sinα1+cosα+sinα=tanα2不仅在不同分母的式子中建立了联系，还沟通了半角的正切值，在处理不同的题目时，选择合适的式子，往往会大大简化题目的计算．

练习
1．求证：\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\tan^2\dfrac{\alpha}{2}．
——提问者：苦行僧 2016-08-29 16:25

2．已知\dfrac{1+\sin\theta+\cos\theta}{1+\sin\theta-\cos\theta}=\dfrac12，则 \tan\theta=______．
——提问者：阿鹏 2016-10-07 09:41

3．已知\dfrac{1+\cos x-\sin x}{1-\sin x-\cos x}+\dfrac{1-\cos x-\sin x}{1-\sin x+\cos x}=3，求\cos 2x的值．
——提问者：樱雪珊唇 2016-09-19 12:20

答案
1．略；　2．-\dfrac43；　3．\dfrac19．

备注：若要查阅详细的解答过程，请在光子问答APP中搜索用户名，查看用户提问的问题，找到对应时间所发的题即可．

相关文章

1. 一道函数不等式

关于数海拾贝

“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。

觉得有意思？微信扫描二维码，关注我们吧！