[小编精选]（六）无穷还是收敛本文作者Vate． 2015年浙江省嘉兴市高三期末考压轴题： 已知无穷数列{an}满足：a1=12015，a2n?2an+2an?1=0(n?2)． （1）试判断数列{an}的单调性； （2）求证：0an12； （3）求证：12?a1+12?a2+?+12?an2015． 解答 （1）由递推式变形可得a2n=2(an?an?1)?0,所以an?an?1，若存在k?2，使得ak=0，则an恒等于零，与a1≠0矛盾，所以an+1>an，即数列{an}递增； （2）由递推式变形可得(an?1)2=1?2an?1?0,即an?1?12,n?2.若a_{n-1}=\dfrac 12，则a_n=1，这显然矛盾，故a_n<\dfrac>．又因为数列递增，所以命题得证． （3）由递推式得\dfrac {1}{a_{n-1}}=\dfrac {2}{a_n(2-a_n)}=\dfrac {1}{a_n}+\dfrac {1}{2-a_n},即\dfrac {1}{2-a_n}=\dfrac {1}{a_{n-1}}-\dfrac {1}{a_n},n\geqslant 2.累加可得\begin{split} \sum_{k=1}^n{\dfrac {1}{2-a_k}}=&\sum_{k=1}^n\left(\dfrac {1}{a_{k-1}}-\dfrac {1}{a_k}\right )\\=&\dfrac {1}{a_1}-\dfrac {1}{a_n}.\\<&\dfrac {1}{a_1}="2015.\end{split}"> 上述解答看似天衣无缝，但实际上，由（2）知\dfrac {1}{2-a_k}>\dfrac 12所以\sum_{k=1}^n{\dfrac {1}{2-a_k}}>\dfrac n2.一定是发散的，当n趋于无穷大时，这个和式也趋于无穷大，所以（3）不可能成立！ 漏洞在哪里？这个级数和到底是收敛的还是发散的？ 我们来看看这个数列的情况：由数列的递推公式得到a_n=1-\sqrt{1-2a_{n-1}},它的递推函数f(x)=1-\sqrt{1-2x}图象如下：
由递推函数的图象知此数列递增，但是不可能有无穷多项，而是到某项a_n\geqslant \dfrac 12时，数列即终止．所以此数列一定是有限数列，记项数为N，有a_N\geqslant \dfrac 12．所以这是一个错题，如果要对题目进行修正，可以将题目改成一个有N项的有限数列的\{a_n\}，去研究它的单调性，证明除最后一项外，每一项的值都在\left(0,\dfrac 12\right )内，且有\sum_{k=1}^N{\dfrac {1}{2-a_k}}<> 小编的话 通过迭代函数的图象去研究数列的性质，从而找到合适的思路去证明相关的级数不等式是一个非常有效的方法．当然，不能直接由图象直观代替证明过程，还需要严格的书写步骤，更多相关问题见每日一题[182]迭代函数法． 感谢凯凯《向量分解的系数和另解》、赵晚龙《2016高考山西省一质检压轴题解析》、朱丰澄《平行四边形法则与内积的几何意义》和《几何意义再显威力》．每日一题的内容意琦行的博客会同步更新，有些题目或者方法已经整理过，读者写稿前可以先搜索确定一下（截止到3.29日的所有投稿已经处理完毕）．另外，数海拾贝最近推出“论剑海”活动，希望读者朋友们踊跃参与． 相关文章关于数海拾贝“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。 觉得有意思？微信扫描二维码，关注我们吧！ |
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