2014年高考山东卷理科压轴题解答2014年高考山东卷理科数学第21题： 已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（1）求C的方程； （2）若直线l1∥l且l1与C有且只有一个公共点E， ① 证明直线AE过定点；并求出定点坐标； ② △ABE是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 先介绍抛物线的两条重要性质． 引理1 （几何平均性质）对称轴为x轴方向的抛物线的任意一条割线与抛物线的两个交点的横坐标的几何平均数为该直线与抛物线对称轴交点的横坐标． 引理2 （算术平均性质）若对称轴为x轴方向的抛物线的一条割线与一条切线平行，那么割线与抛物线的两个交点的纵坐标的算术平均数为切线与抛物线的切点的纵坐标． 接下来介绍解析几何中的两个重要公式． 引理3 （坐标截距公式）过点(x1,y1)和(x2,y2)的直线的横截距a和纵截距b分别为a=y1x2?y2x1y1?y2,b=x1y2?x2y1x1?x2. 引理4 （坐标面积公式）由有向线段→OA=(a,b)和→OB=(c,d)围成的三角形OAB的有向面积S△OAB=12|abcd|. 解 （1）不妨设A(3,√6p)，而F(p2,0)，根据题意，直线AF的斜率√6p?03?p2=√3, 解得p=2，于是抛物线C的方程为y2=4x． （2）不妨设A(4t2,4t)，t>0，则由抛物线的定义可得D(4t2+2,0)． 进而利用引理1，可得B((4t2+2)24t2,?4t2+2t)． 再利用引理2，可得E(14t2,?1t)． ① 对A、E应用引理3，可得直线AE的横截距为4t?14t2?(?1t)?4t24t?(?1t)=1, 于是直线AE恒过点(1,0)（即焦点）． ② 对三角形ABE应用引理4，可得三角形ABE的面积S△ABE=12|4t2?(4t2+2)24t24t?(?4t2+2t)4t2?14t24t?(?1t)|, 化简得S△ABE=(4t+1t)?(8t2+12t2+4)?16, 等号当且仅当t=12时取得，于是三角形ABE的面积存在最小值为16． 注一 第（2）小问的 ① 即描述抛物线的光学性质，可以参考 每日一题[88] 抛物线的光学性质 ，每日一题[16] 抛物线的光学性质． 注二 抛物线还有很多优美性质，如 抛物线中切线三角形的性质． 关于数海拾贝“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。 觉得有意思？微信扫描二维码，关注我们吧！ |
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