中考数学压轴题分析：两点关于直线对称的问题

两个点关于直线对称，或者说翻折之类在几何里面出现的比较多。直接求对称点的坐标，在初中阶段涉及的比较少。

本文内容选自2020年永州中考数学倒数第2题，难度较大。涉及两点关于直线对称的问题，用高中的知识解决会更快一些。下面一起看下吧。

【中考真题】

（2020·永州）在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过，，三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线交抛物线于，两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

【分析】
题（1）先求、、三点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式。
题（2）①求三角形的面积，可以用割补法。以y轴为界分为左右两个部分。因此只需求出MN的水平宽即可。设直线l的解析式，再联立方程组，用k表示和再得面积的表达式。
题（2）②是一个难点。主要是怎么利用关于直线对称这个条件。如果学了高中的知识，就相对会快一些。
先设点P的坐标为（x，y）直线l的解析式为y=kx。由于PQ的中点在直线上，因此可以得到

又因为PQ与l互相垂直，可以得到它们的斜率k的乘积为-1，那么就可以得到

然后消去k和x，得到y的方程为，
解得.
然后再代入求出x的值和k的值即可。不过时，不满足题意需要舍去。

其实这里有个疑问，如果l与y轴重合，点P与Q关于y轴对称，这种情况是否符合题意呢？

大家不妨讨论下！
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
，
，，，
，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2）①设直线的解析式为，，，，，
由，可得，
，，
，
，
，
当时取最小值为4．
面积的最小值为4．
②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，
，即，
解得，，，，，

（备注：这里面出现了4次的方程，虽然不难求。）
，不合题意，舍去，
当时，点，
线段的中点为，
，
，
直线的表达式为：，
当时，点，，
线段的中点为，，
，
，
直线的解析式为．
综上，点，，直线的解析式为或点，，直线的解析式为．