证明:因为A是实对称矩阵 所以 A 相似于对角矩阵 diag(λ1,λ2,...,λn) 其中 λi 是A的特征值. 因为相似矩阵有相同的秩, 故 r(A) = λ1,λ2,...,λn 中非零数的个数. 由A是实对称矩阵知A^2也是实对称矩阵 且A^2的特征值为 λ1^2,λ2^2,...,λn^2(特征值的性质) 故A^2相似于对角矩阵 diag(λ1^2,λ2^2,...,λn^2) 且 r(A^2) = λ1^2,λ2^2,...,λn^2 中非零数的个数 = λ1,λ2,...,λn 中非零数的个数 = r(A). |
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