|
（许兴华选编） 三视图的投影特征是“长对正，高平齐，宽相等”，即正、俯视图的长对正，正、侧视图的高平齐，俯、侧视图的宽相等． 将物体的三视图复原成其所表示的几何体，需抓住以下几个读图要点： 思路：由正、侧视图可以看出，该几何体可分解成上、下两部分(也可由正、俯视图将几何体分解为左、中、右三部分)，结合俯视图，得上半部分是长、宽、高分别为3、3、l的长方体，下半部分是长、宽、高分别为1、3、3的长方体，因而，所求几何体的体积为3×3×l+1×3×3=18(cm立方)． [例2]一个几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为多少? 思路：如图4，我们在俯视图的各正方形中分别标出在该位置上搭叠的长方块个数，由正视图第2列有2个长方形知，标记“2或1”的3个框中，右边二框至少有一框应为“2”，由侧视图第2列有2个长方形知，标记“2或1”的3个框中，下边二框至少有一框应为“2”，所以这3个框中的标记有5种可能的情形．图4的 右边标示出了这3个框的对应位置上各自搭叠的长方块个数所有情形) 二、辨识图形特征 【例4 】一空间几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为( ) 思路：由正、侧视图，将该几何体分解成上、下两半部分，再由三视图的投影特征，将上、下两半部分的三视图分离开来，即可得上半部分为一正四棱锥，下半部分为一圆柱(图6)．且正四棱锥的底面正方形内接于圆柱的底面圆，正四棱锥的侧棱长和底面正方形对角线长均为2，圆柱的底面直径和高均为2．故所求几何体的体积 【例5】一个几何体的三视图如图7所示，则这个几何体的体积为多少？ 思路：由俯、侧视图，将该几何体分解成前、后两半部分，再由三视图的投影特征，将前、后两半部分的三视图分离开来(略)，即可得前半部分为一正六棱柱，后半部分为一圆柱，从而 思路：我们可应用排除法，由正、侧、俯视图依次排除(A)、(B)、(C)选项，得正确选项为(D)．以下则通过对三视图的分析，辨识特征，还原几何体． 由正、侧视图，将该几何体分解成上、下两半部分，再由三视图的投影特征，将上、下两半部分的三视图分离开来(图9)，即可得上半部分为一直三棱柱，下半部分为一长方体．(还可由正视图中的虚实线条关系知，两部分简单几何体的前面在同一平面内；由侧视图中的虚实线条关系知，两半部分简单几何体的左面在同一平面内)据此得正确选项为(D)． 三、注意垂直与平行关系 如果我们将各投影面均看成由2条横线、2条竖线所组成的矩形，则(1)垂直于某一投影面的线段在与其垂直的投影面上的投影为一个点，在另外二个投影面上的投影均为一条保持其长度的横线或竖线；平行于某一投影面且不垂直于其他投影面的线段，在与其平行的投影面上的投影为一条保持其长度的非横非竖线段，在另外二个投影面上的投影均为一条(长度缩短了的)横线或竖线；不平行于任一投影面的线段在三个投影面上的投影均为一条(长度缩短了的)非横非竖线段．(2)在几何体中，垂直于某一投影面的面在该投影面上的投影为一条线段；平行于某一投影面的面在该投影面上的投影保持了原形状，在另外两个投影面上的投影均为一条横向或竖向的线段． 思路：我们在三个视图的各相关点处标上如图11的字母。 由三视图的投影特征知，俯视图上的线段日G、H1分别与正视图 上的点曰、侧视图上的点F相对应；点A和D为三棱锥上的同一点，它们都与俯视图上的点．，相对应(正视图上的线段AB、AC及侧视图上的线段DE、DF均分别对应于俯视图上的线段-，G、J，)． 故得原几何体为图12所示的三棱锥，其中垂直于上底面GHI．结合
注：问题破解的关键点，是找到正视图、左视图上的点A、D均与俯视图上的点．，相对应，并由此得到原三棱锥底面的垂线A上实际画图时，可不标记字母． 【例8】 一个空间几何体的三视图如图13所示，则该几何体的表面积为( )
思路：由三视图的投影特征知，俯视图中正方形框上的2条横线、框内的2条横线分别对应于侧视图上梯形下底的2端点、上底的2端点，则原几何体为左、右二侧面为等腰梯形的直四棱柱(左、右二侧面均与下侧面垂直)，其表面积
四、少于三个的视图问题 【例10 】一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图17所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是多少？ 思路：设正三棱柱的侧棱长和底面边长均为a，则 【附录】聚焦阅读（近期精彩文章）：点击下面文章可找到。 |
|
|
